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무게 (표현론)

리 대수 표현론의 개념
(정수 무게에서 넘어옴)

정의편집

 에 대한 리 대수  무게  는 다음 성질을 만족시키는  -선형 범함수이다. (여기서  쌍대 공간이다.)

 

무게는 리 괄호에 대하여 0이므로, 리 대수  의 무게는 그 가환화  의 무게로 제한될 수 있다. 즉,  의 무게는  의 원소를 정의한다.

무게 가군편집

다음이 주어졌다고 하자.

  •  
  •  -리 대수  
  •  표현  
  •  의 무게  

그렇다면,   속의, 무게  무게 공간(영어: weight space)   의 다음과 같은 부분 공간이다.

 

 이라면   무게라고 하고, 무게 공간의 원소를 무게 벡터(영어: weight vector)라고 한다.

만약  가 그 무게 공간들의 직합이라면,   무게 가군(-加群, 영어: weight module)이라고 한다.

마찬가지로, 다음을 정의하자.   속의, 무게  일반화 무게 공간(영어: generalized weight space)   의 다음과 같은 부분 공간이다.[1]:130

 

 이라면   일반화 무게(영어: generalized weight)라고 하고, 무게 공간의 원소를 일반화 무게 벡터(영어: generalized weight vector)라고 한다. (유한 차원  의 경우 사실 항상  로 잡을 수 있다.)

마찬가지로, 일반화 무게 공간들의 직합으로 표현되는 표현을 일반화 무게 가군(영어: generalized weight module)이라고 한다.

성질편집

복소수체 위의 유한 차원 멱영 리 대수  의 모든 유한 차원 표현은 항상 일반화 무게 가군이다.[1]:130, Proposition II.2.4

복소수체 위의 유한 차원 아벨 리 대수  의 모든 유한 차원 표현은 항상 무게 가군이다.

반단순 리 대수의 카르탕 부분 대수의 무게편집

만약  복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수  를 고르자.  이므로,   위의 모든 무게는 자명하다. 그러나 아벨 리 대수  는 (물론) 자명하지 않을 수 있다. 이 경우,  의 모든 유한 차원 표현은 ( 에 제한되었을 때)  의 무게 가군을 이룬다.

딸림표현   -무게들을  (根, 영어: root)이라고 하며, 이들은  의 벡터들의 집합으로서 근계를 이룬다. 근  에 대응하는 쌍대근(雙對根, 영어: coroot)  

 

이다.

단순 리 대수의 무게편집

 복소수체 위의 유한 차원 단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수  를 고르자.  정수 무게(整數-, 영어: integral weight)  는 다음 조건을 만족시키는 무게이다.

  • 모든 쌍대근  에 대하여,  . (다시 말해, 모든 근  에 대하여,  .)

정수 무게들의 집합  는 (덧셈군으로서)  와 동형이며, 이를 정수 무게 격자(영어: integral weight lattice)라고 한다.

 근계양근   및 이를 생성하는 단순근  를 고르자. 그렇다면,  기본 무게(基本-, 영어: fundamental weight)  는 (선택한 양근 집합에 대한) 단순근에 대응되는 쌍대근들의 집합의 쌍대 기저의 원소이다. 즉, 단순근 집합  에 대하여 다음 조건을 만족시키는 무게  이다.

 

이에 따라, 정수 무게는 기본 무게의 정수 계수 선형 결합이 된다.

 우세 무게(優勢-, 영어: dominant weight)는 기본 무게의 음이 아닌 실수 계수 선형 결합이다. 즉, 무게  가 우세 무게가 될 필요 충분 조건은 모든 양근 (또는 단순근)  에 대하여

 

인 것이다.  우세 정수 무게(優勢-, 영어: dominant integral weight)는 기본 무게들의 음이 아닌 정수 계수의 선형 결합이다. 우세 무게들의 닫힌집합(즉, 우세 정수 무게들의 볼록포)를 기본 바일 방(영어: fundamental Weyl chamber)이라고 한다.

즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

무게 정수 무게 양근 단순근
우세 무게 우세 정수 무게 기본 무게
영벡터 (0)

여기서

  • 밑줄로 강조된 것들은 양근의 선택에 의존하지만, 나머지는 그렇지 않다.
  • 기울어지게 쓰인 것들은 유한 집합이며, 나머지는 무한 집합이다.

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다음과 같은 A2 근계를 생각하자.

 

여기서

  • 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
  • 삼각형 격자의 모든 꼭짓점은 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
  • 굵게 칠해진 꼭짓점들은 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
  • 굵게 칠해진 꼭짓점들의 볼록포인 60° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
  • 화살표의 머리들( ,  ,  )은 근이다. (즉, 총 6개의 근이 있다.)
  • 양근 ,  ,  이다. (즉, 총 3개의 양근이 있다.)
  • 단순근 ,  이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.)
  • 기본 무게는  ,  이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)

다음과 같은 B2 근계를 생각하자.

 

여기서

  • 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
  • 격자  의 원소는 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
  •  의 원소는 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
  • 제1사분면의 점 가운데, y좌표가 x좌표보다 더 큰 점들로 구성된 45° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
  • 화살표의 머리들( ,  ,    )은 근이다. (즉, 총 8개의 근이 있다.)
  • 양근 ,  ,  ,  이다. (즉, 총 4개의 양근이 있다.)
  • 단순근 ,  이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.)
  • 기본 무게는  ,  이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)

참고 문헌편집

  1. Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) 140 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501. 

외부 링크편집