분할 리 대수

리 대수 이론에서, 분할 리 대수(分割Lie代數, 영어: split Lie algebra)는 특별한 형태의 카르탕 부분 대수를 갖춘 리 대수이다. 복소수체 위의 반단순 리 대수는 항상 분할 리 대수의 구조를 갖는다.

정의

체 $K$ 위의 유한 차원 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 카르탕 부분 대수 ${\mathfrak {h}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 분할 카르탕 부분 대수라고 한다.

• 임의의 $x\in {\mathfrak {h}}$에 대하여, $\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}=[x,-]\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$가 삼각 행렬이 되는 ${\mathfrak {g}}$의 $K$-기저가 존재한다.

분할 카르탕 부분 대수를 갖는 리 대수를 분할 리 대수라고 한다.

연산

유한 개의 분할 리 대수 $({\mathfrak {g}}_{i},{\mathfrak {h}}_{i})_{i\in I}$가 주어졌을 때, 그 직합

$({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$

${\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i\in I}{\mathfrak {g}}_{i}$

${\mathfrak {h}}=\bigoplus _{i\in I}{\mathfrak {h}}_{i}$

역시 분할 리 대수를 이룬다.

성질

대수적으로 닫힌 체 위의 모든 반단순 리 대수는 분할 리 대수의 구조를 가질 수 있다. 그러나 이는 대수적으로 닫힌 체가 아닌 체에 대하여 성립하지 않는다.

표수 0의 체 $K$ 위에서, 보렐 부분 리 대수(즉, 극대 가해 부분 리 대수)를 갖는 리 대수를 준분할 리 대수(영어: quasisplit Lie algebra)라고 한다. 이 경우, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

분할 리 대수 ∪ ${\bar {K}}$-반단순 리 대수 ⊆ 준분할 리 대수 ⊆ 반단순 리 대수

(여기서 ${\bar {K}}$는 $K$의 대수적 폐포이다.) 만약 $K$가 대수적으로 닫힌 체(예를 들어, 복소수체)라면, 위 포함 관계들은 모두 등호가 된다. 그러나 만약 $K=\mathbb {R}$일 때, 이는 모두 등호가 아니다.

예

각 복소수 단순 리 대수는 정확히 하나의 분할 실수 형식을 갖는다. 그러나 이들은 하나 이상의 준분할 실수 형식을 가질 수 있다.

복소수 단순 리 대수들 가운데, 분할이 아닌 준분할 실수 형식을 갖는 것들은 다음과 같다.

복소수 단순 리 대수	분할 실수 형식	분할이 아닌 준분할 실수 형식
${\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )$	${\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {su}}(\lfloor n/2\rfloor ,\lceil n/2\rceil )$
${\mathfrak {o}}(2n;\mathbb {C} )$	${\mathfrak {o}}(n,n)$	${\mathfrak {o}}(n-1,n+1)$
${\mathfrak {e}}_{6}$	${\mathfrak {e}}_{6(6)}$	${\mathfrak {e}}_{6(2)}$

외부 링크

• “Split group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Quasi-split group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.