리 대수 아이디얼

리 군론에서 리 대수 아이디얼(Lie代數ideal, 영어: Lie algebra ideal)은 몫을 취할 수 있는 리 대수의 부분 리 대수이다. 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념이다.

정의

가환환 $K$ 위의 리 대수 $({\mathfrak {g}},[-,-])$ 의 부분 리 대수(部分Lie代數, 영어: Lie subalgebra) ${\mathfrak {h}}$ 는 리 괄호에 대하여 닫힌 $K$ -부분 가군이다. 즉, ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ 이며 $[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}$ 이다.

가환환 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 부분 집합 $I\subseteq {\mathfrak {g}}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 리 대수 아이디얼(영어: Lie algebra ideal)이라고 한다.

$K$ -부분 가군이며, $[{\mathfrak {g}},I]\subseteq I$ 이다.
$\ker \phi =I$ 인 리 대수 준동형 $\phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$ 가 존재한다.

리 대수 아이디얼에 대하여, 몫 리 대수(영어: quotient Lie algebra) ${\mathfrak {g}}/I$ 를 정의할 수 있다.

리 초대수의 경우

위의 개념들은 리 초대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.

가환환 $K$ 위의 리 초대수 $({\mathfrak {g}},[-,-\})$ 의 부분 리 초대수(部分Lie初代數, 영어: Lie sub-superalgebra) ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 는 리 초괄호에 대하여 닫힌 $K$ -부분 가군이다. 즉,

[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}\}\subseteq {\mathfrak {h}}

이다.

가환환 $K$ 위의 리 초대수 $({\mathfrak {g}},[-,-\})$ 의 아이디얼(영어: ideal) ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 는 다음 조건을 만족시키는 $K$ -부분 가군이다.

$[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}\}\subseteq {\mathfrak {h}}$

즉, ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ 이라고 할 때,

${\mathfrak {h}}_{0}\subseteq {\mathfrak {g}}_{0}$ 는 리 대수 ${\mathfrak {g}}_{0}$ 의 아이디얼이다.
${\mathfrak {h}}_{1}\subseteq {\mathfrak {g}}_{1}$ 는 ${\mathfrak {g}}_{0}$ 의 표현을 이루며 ( $[{\mathfrak {g}}_{0},{\mathfrak {h}}_{1}\}\in {\mathfrak {h}}_{1}$ ), 또한 $\{{\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {h}}_{1}\}\subseteq {\mathfrak {h}}_{1}$ 을 만족시킨다.

L∞-대수의 경우

위의 개념들은 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.

가환환 $K$ 위의 L∞-대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 부분 L∞-대수(部分L∞-代數, 영어: L∞-subalgebra) ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 는 모든 항수의 괄호에 대하여 닫혀 있는, 동차 $K$ -부분 가군이다. 즉,

[\overbrace {{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}},\dotsc ,{\mathfrak {h}}} ^{k}]_{k}\subseteq {\mathfrak {h}}\qquad (k\in \mathbb {Z} ^{+})

\operatorname {proj} _{n}({\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}\qquad (n\in \mathbb {N} )

이다. 여기서 $\operatorname {proj} _{n}$ 은 등급 $n$ 의 성분을 취하는 사영 함수이다.

가환환 $K$ 위의 L∞-대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 아이디얼(영어: ideal) ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 는 다음 조건을 만족시키는 $K$ -부분 가군이다.

[{\mathfrak {h}},\overbrace {{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}},\dotsc ,{\mathfrak {g}}} ^{k}]_{k}\subseteq {\mathfrak {h}}\qquad (k\in \mathbb {Z} ^{+})

\operatorname {proj} _{n}({\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}\qquad (n\in \mathbb {N} )

특히, $k=1$ 일 때 이 조건은

\mathrm {d} {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {h}}

이다. 즉, ${\mathfrak {h}}$ 는 ${\mathfrak {g}}$ 의 부분 공사슬 복합체를 이룬다.

성질

함의 관계

모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 가환환 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 부분 집합에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

리 대수 아이디얼 ⊆ 부분 리 대수 ⊆

K

-부분 가군 ⊆ 덧셈 부분군 ⊆ 부분 집합

다른 성질과의 관계

표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 에 대하여, 다음과 같은 성질들이 아이디얼로서 정의된다.

리 대수의 종류	리 대수 아이디얼을 통한 정의
단순 리 대수	정확히 두 개의 아이디얼 (즉, $\{0\}\neq {\mathfrak {g}}$ )을 가지며, 아벨 리 대수가 아님
반단순 리 대수	아벨 아이디얼은 $\{0\}$ 밖에 없음
아벨 리 대수	모든 $K$ -부분 가군이 리 대수 아이디얼임
$\{0\}$	정확히 한 개의 아이디얼을 가짐

예

자명한 리 대수 아이디얼

모든 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 에 대하여, $\{0\}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 과 ${\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 는 (자명하게) ${\mathfrak {g}}$ 의 리 대수 아이디얼이다. 이들에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.

{\mathfrak {g}}/\{0\}\cong {\mathfrak {g}}

{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {g}}\cong \{0\}

직합 성분

같은 가환환 위의 두 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ , ${\mathfrak {h}}$ 의 직합 ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$ 에서, ${\mathfrak {g}}\oplus 0,0\oplus {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$ 는 각각 ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$ 의 리 대수 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.