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리 군론에서, 가해 리 대수(可解Lie代數, 영어: solvable Lie algebra)는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다.

목차

정의편집

가해 리 대수의 개념은 다양하게 정의된다.

  • 일반적으로, 가해 리 대수는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다.
  • 표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수의 개념은 리 대수 표현론을 사용하여 정의될 수 있다.
  • 실수체 또는 복소수체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수가 가해 리 대수일 조건은 대응하는 리 군가해군인 것이다.

유도열을 통한 정의편집

가환환   위의 리 대수  유도열(誘導列, 영어: derived series)은 다음과 같다.

 
 
 

만약 어떤 자연수  에 대하여  이라면,  가해 리 대수라고 한다.[1]:31 ( 는 유일한 0차원 리 대수이다.)

리 대수  극대 부분 리 대수는 보렐 부분 대수(영어: Borel subalgebra)라고 한다. 리 대수  최대 리 대수 아이디얼근기라고 한다. (보렐 부분 대수는 일반적으로 유일하지 않지만, 근기는 항상 유일하다.)

표현론을 통한 정의편집

표수 0인 체 위의 유한 차원 리 대수  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  •  는 가해 리 대수이다.
  •  딸림표현  는 가해 리 대수이다.
  •  멱영 리 대수이다.[1]:Proposition 1.39
  • (카르탕 가해성 조건 영어: Cartan’s criterion for solvability)  킬링 형식  가 주어졌을 때,  이다.

리 군 이론을 통한 정의편집

 라고 하자. 그렇다면, 유한 차원  -리 대수의 경우 가해성은 다음과 같이 정의될 수 있다.

유한 차원  -리 대수  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  를 리 대수로 갖는 (유일한) 단일 연결 리 군  는 (군으로서) 가해군이다.
  •  이며,  라고 하자. 여기서  위상수학적 폐포를 뜻한다. 그렇다면 이 열은 유한하다. 즉,  한원소 집합인 자연수  가 존재한다.
  •  는 가해 리 대수이다.

이 경우, 위와 같이 "폐포를 취한 유도열"은 리 대수의 유도열에 대응한다.

연결 리 군이 아닌 리 군  의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  •  연결 성분  는 (군으로서) 가해군이다.
  •  리 대수  는 가해 리 대수이다.

성질편집

함의 관계편집

임의의 가환환  에 대하여, 다음 포함 관계가 (정의에 따라) 성립한다.

 -아벨 리 대수 -멱영 리 대수 -가해 리 대수 ⊆  -리 대수

연산에 대한 닫힘편집

리 대수의 짧은 완전열

 

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  가 가해 리 대수이다.
  •   가 둘 다 가해 리 대수이다.

증명 (  가해 ⇒  ,   가해):

 이라고 하자. 그렇다면,  이며, 또한 자연스러운 전사 함수

 

에 따라  이다.

증명 ( ,   가해 ⇒   가해):

충분히 큰 자연수  에 대하여

 

라고 하자. 그렇다면,

 

이므로,

 

이다.

즉,

  • 가해 리 대수의 아이디얼은 가해 리 대수이다.
  • 가해 리 대수의 몫은 가해 리 대수이다.
  • 가해 리 대수의, 가해 리 대수에 대한 확대는 가해 리 대수이다.

분류편집

리 정리(영어: Lie’s theorem)에 따르면, 표수 0대수적으로 닫힌 체   위의 모든 유한 차원 가해 리 대수는 충분히 큰  에 대하여  의 부분 대수로 나타낼 수 있다. (이 정리는 양의 표수에서 성립하지 않는다.)

편집

 에 대하여,  가 모든   상삼각 행렬로 구성된 리 대수라고 하자. 이는 가해 리 대수를 이룬다.

역사편집

리 정리는 소푸스 리가 1876년에 증명하였다.[2]

참고 문헌편집

  1. Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) 140 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501. 
  2. Lie, Sophus (1876). “Theorie der Transformationsgruppen (Abhandlung Ⅱ)”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 (독일어) 1: 152–193. 

외부 링크편집