사원수 표현

군 표현론에서, 사원수 표현(四元數表現, 영어: quaternionic representation은 사원수 벡터 공간 위의 군의 표현이다.

정의 편집

사원수 표현의 개념은 사원수의 용어를 사용하여 간단히 정의될 수 있으며, 사원수를 사용하지 않고 순수하게 복소수만으로 정의될 수도 있다.

군 $G$ 의 사원수 표현은 다음과 같은 꼴의 군 준동형이다.

\rho \colon G\to \operatorname {GL} (n;\mathbb {H} )

여기서

$\operatorname {GL} (n;\mathbb {H} )=\hom _{\mathbb {H} }(\mathbb {H} ^{\oplus n},\mathbb {H} ^{\oplus n})$ 은 $n$ 차원 사원수 벡터 공간 위의, 가역 사원수 선형 변환들의 리 군이다.

군 $G$ 의 사원수 표현 $(\rho ,V,j)$ 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

이는 다음을 만족시켜야 한다.

(대합) $j\circ j=\operatorname {id} _{V}$
(반선형성) 임의의 복소수 $\lambda \in \mathbb {C}$ 및 $v\in V$ 에 대하여, $j(\lambda v)={\bar {\lambda }}j(v)$
(군의 작용) 임의의 $g\in G$ 및 $v\in V$ 에 대하여, $j(\rho (g)v)=\rho (g)j(v)$

3차원 스핀 군 $\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)$ 의 복소수 2차원 스피너 표현은 사원수 표현을 이룬다. 사원수 표현으로서, 이 표현

\rho \colon \operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {H} )

의 상은

\operatorname {im} \rho =\{x\in \mathbb {H} \colon \|x\|=1\}

이다. 이는 유니터리 표현이다.

연결 단일 연결 콤팩트 리 군 가운데, 사원수 기약 표현을 갖는 것들의 목록은 다음과 같다.

$\operatorname {SU} (4n+2)$ (즉, ${\mathsf {A}}_{4\bullet +1}$ )
$\operatorname {Spin} (n)$ , $(n{\bmod {8}})\in \{3,4,5\}$ (즉, ${\mathsf {B}}_{4\bullet +1}$ , ${\mathsf {B}}_{4\bullet +1}$ , ${\mathsf {D}}_{4\bullet +2}$ )
$\operatorname {USp} (2n)$ (즉, ${\mathsf {C}}_{\bullet }$ )
${\mathsf {E}}_{7}$

스핀 군의 경우, 사원수 기약 표현의 존재는 보트 주기성을 따른다.