콤팩트 리 군

리 군론에서 콤팩트 리 군(compact Lie群, 영어: compact Lie group)은 콤팩트 공간리 군이다. 이들은 완전히 분류되었으며, 물리학이나 기타 수학 분야에 자주 등장한다. 콤팩트 리 군의 군 표현론대수적 위상수학은 일반적인 리 군의 경우보다 더 간단하며, 잘 알려져 있다.

정의

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리 군  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

성질

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대수적 성질

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복소다양체를 이루는 콤팩트 리 군은 항상 아벨 군이며, 이들은 복소수체 위의 아벨 대수다양체를 이룬다.

단일 연결 반단순 콤팩트 리 군기본 표현의 수는 그 계수(극대 아벨 부분 리 군의 차원, 또는 딘킨 도표의 꼭짓점의 수)와 같으며, 그 유한 차원 표현들은 이로부터 분류된다. 단일 연결 조건이 생략되면, 그 범피복군의 표현 가운데 일부는 원래 군의 표현을 이루지 못할 수 있다. (예를 들어, 스피너스핀 군의 표현을 이루지만, 직교군의 표현을 이루지 못한다.) 물론, 아벨 성분의 표현론은 자명하다.

해석학적 성질

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콤팩트 리 군 위에는 양쪽 하르 측도(즉, 오른쪽 및 왼쪽 군의 작용에 대하여 불변인 확률 측도)가 존재한다. (반면, 일반적 리 군 위에는 왼쪽 또는 오른쪽 하르 측도가 항상 존재하지만 양쪽 하르 측도가 존재하지 못할 수 있다.)

 는 왼쪽 곱셈

 
 

을 통하여   위의 미분 형식들의 공간   위에 당김으로서 작용하며, 특히  작용에 불변인 부분 공간  을 정의할 수 있다. 이 경우,  -불변 미분 형식들은 쐐기곱외미분에 대하여 닫혀 있으며, 그 코호몰로지 드람 코호몰로지와 같다. 또한,  -불변 미분 형식들의 공사슬 복합체는 사실  리 대수  만으로 재구성될 수 있는데, 이를 리 대수 코호몰로지라고 한다. (실수체 계수의 코호몰로지이므로,  꼬임 기본군을 무시할 수 있으며, 따라서 이는  리 대수만으로 완전히 결정된다.)

사실, 포함 사상  왼쪽 역사상인 다음과 같은 공사슬 사상이 존재한다.

 
 

(여기서  는 물론  하르 측도이며,  이다.) 즉,

 

이며, 이는 또한 외미분을 보존하며, 또한 이는 코호몰로지의 동형을 유도한다.

위상수학적 성질

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코호몰로지

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연결 콤팩트 리 군  드람 코호몰로지  를 생각하자. 실수 등급 대수로서, 이는 유한 개의 홀수 차수의 생성원들로 생성되는 외대수이다. 또한, 생성원의 차수는  의 계수( 의 극대 아벨 부분 리 대수의 차원)와 같다.

구체적으로,  리 대수  의 극대 아벨 부분 리 대수 (카르탕 부분 대수)

 

를 고르고, 그 리 지수 사상에 대한 닫힌 아벨 부분군을  라고 하자. 그렇다면,  의 (반단순 성분의) 바일 군    변수 실수체 계수 다항식환

 

위에 작용하며, 따라서 불변 다항식의 대수

 

를 정의할 수 있다. 이는 항상 자유 가환 결합 대수이며, 그 생성원의 수는  의 계수(즉,  )와 같다.  의 생성원의 다항식 차수가

 

라고 하자.

그렇다면, 다음과 같은 등급 대수의 동형이 존재한다.

 

여기서

  •  는 원래 등급 대수에서 각 성분의 등급을 2배로 곱하여 얻는 등급 대수이다. (즉, 홀수 등급의 성분은 모두 0이 된다.)
  •  는 (아벨 군이므로 정규 부분군인)  에 대한 몫군이다.

즉,  의 실수 계수 코호몰로지는 등급  들의 원소들로 생성되는 자유 가환 결합 대수이다.

마찬가지로,  의 실수 계수 코호몰로지는 등급  의 원소들로 생성되는 자유 가환 결합 대수이다.

호모토피

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콤팩트 리 군의 실수 계수 호모토피 군은 그 드람 코호몰로지로부터 유리수 호모토피 이론을 통해 계산될 수 있다. 특히, 모든 단순 리 대수킬링 형식을 통해 2차 불변 다항식을 가지므로, 각 단순 리 대수 성분에 대하여 3차 호모토피 군의 생성원이 존재한다.

콤팩트 리 군의 정수 계수 호모토피 군보트 주기성으로 계산될 수 있다.

위상 K이론

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단일 연결 반단순 콤팩트 리 군  가 주어졌다고 하자.  의 각 기본 표현

 

은 −1차 위상 K군  의 원소를 정의한다. 이를 편의상  로 표기하자.

 위상 K군들로 구성된 환

 

 들로 생성되는 외대수이다.

분류

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모든 콤팩트 리 군  는 표준적으로 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 갖는다.

 

여기서   의,  를 포함하는 연결 성분리 군이며,   연결 성분들로 구성된 이산군이다.

연결 콤팩트 리 군  는 항상 다음과 같은 꼴로 표현된다.

 

여기서

  •  원환면이다.
  •  음의 정부호 킬링 형식을 갖는 반단순 리 대수에 대응되는 단일 연결 리 군이다.
  •   중심에 속하는 유한군이다. 또한, 이 경우  이 되게 잡을 수 있다.

따라서, 콤팩트 리 군의 분류는 반단순 리 대수의 분류로 귀결되며, 이들은 딘킨 도표로 완전히 분류된다.

초구를 이루는 리 군

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특히, 위 분류에 따라, 초구 가운데 리 군의 구조를 갖출 수 있는 것은

  (2차 순환군)
  (원군)
  (2차 특수 유니터리 군)

밖에 없다. 이들은 각각 실수체 · 복소수체 · 사원수 대수의 절댓값 1의 원소들의 리 군이다.

역사

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콤팩트 리 군의 실수 계수 코호몰로지에 대한 정리는 하인츠 호프가 1941년에 증명하였다.[1] 사실, 호프는 호프 대수의 개념을 이 정리를 증명하기 위하여 이 논문에서 도입하였다.

각주

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외부 링크

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