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모리타 문맥

(삼각환에서 넘어옴)

환론에서, 모리타 문맥([森田]文脈, 영어: Morita context)은 두 개의 쌍가군으로 정의되는 수학적 구조이며, 이를 사용하여 모리타 환([森田]環, 영어: Morita ring)이라는, 2×2 행렬들로 구성된 을 정의할 수 있다. 만약 두 쌍가군 가운데 하나가 0이라면, 이에 대응되는 환은 삼각환(三角環, 영어: triangular (matrix) ring)이라고 하며, 이는 2×2 상삼각행렬들로 구성된다.

정의편집

행렬을 통한 정의편집

   사이의 모리타 문맥은 다음과 같은 데이터로 구성된다.[1]:486; 503, Exercise §18.18

  •  -쌍가군  
  •  -쌍가군  
  •  -쌍가군 준동형  
  •  -쌍가군 준동형  

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

  •  
  •  

모리타 문맥  이 주어졌을 때, 아벨 군

 

위에 다음과 같은 이항 연산을 부여하면 이는 을 이루며, 이를 모리타 환(영어: Morita ring)이라고 한다.

 

 의 원소를 다음과 같은 2×2 행렬

 

로 나타내며   를 생략한다면, 모리타 환의 곱은 행렬의 곱셈으로 생각할 수 있다. 따라서, 모리타 환은 기호로

 

로 표기한다.

특수한 경우로,  이며  ,  는 영 쌍가군을 정의역으로 하는 유일한 쌍가군 준동형이라고 하자. 이 경우 모리타 환  상삼각행렬로 구성되며, 이를 삼각환이라고 한다.[2]:16, Example 1.14[1]:503, Exercise §18.18 즉, 이는 아벨 군으로서 직합  이며, 그 위의 환 구조는 다음과 같다.

 

멱등원을 통한 정의편집

삼각환은 다음과 같이 다르게 정의할 수도 있다.[3]:430, Theorem 6.4(c)[4] 모리타 문맥  은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  •  이다.
  •  는 멱등원이다. 즉,  를 만족시킨다.

이 정의는 쌍가군을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로,  가 주어졌을 때,

 
 
 
 
 
 
 
 

로 놓으면,  는 모리타 문맥을 이룬다. 반대로, 모리타 문맥  이 주어졌을 때,

 
 

로 놓으면, 이는 위 정의를 만족시킨다.

특히, 만약  일 경우,  는 삼각환  을 정의한다.

준가법 범주를 통한 정의편집

모리타 문맥의 개념은 범주론적으로 간단히 정의할 수 있다.

모리타 문맥은 2개의 대상을 갖는 준가법 범주(즉, 아벨 군의 범주   위의 풍성한 범주)이다.[3]:430, Theorem 6.4(a) 이러한 준가법 범주  가 주어졌으며, 그 두 대상이   라고 하자. 그렇다면

 
 
 
 

로 놓으면, (준가법 범주에서의 자기 사상 모노이드을 이루므로)   는 자연스럽게 의 구조를 가지며, 사상의 합성을 통해   -쌍가군,   -쌍가군을 이룬다. 또한, 사상의 합성을 통하여 자연스럽게 사상

 
 

이 존재한다. 만약  일 경우 이는 삼각환을 정의한다.

2-범주를 통한 정의편집

2-범주 이론을 통해, 모리타 문맥의 개념을 일반화할 수 있다. 구체적으로, 2-범주   속의 모리타 문맥  은 다음과 같은 데이터로 구성된다.[3]:424–425, Definition 5.1

  •    의 대상(=0-사상)이다.
  •    의 1-사상이다.
  •    의 2-사상이다.

다음과 같은 쌍가군 2-범주  를 생각하자.

  •  의 대상(=0-사상)은 이다.
  •  의 두 대상  ,   사이의 1-사상은  -쌍가군이다. 1-사상의 합성은 쌍가군의 텐서곱  으로 주어진다.
  •  의 두 대상  ,   사이의 두 1-사상  ,   사이의 2-사상은  -쌍가군 준동형  이다.

그렇다면, 2-범주   속의 모리타 동치는 위의 다른 정의들과 동치이다.

성질편집

삼각환  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  가환환이다.
  •   가환환이며,  이다.

아이디얼편집

   -쌍가군  이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 삼각환  왼쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.[2]:17, Proposition 1.17(1)

 

여기서

  •   왼쪽 아이디얼이다.
  •    -부분 가군이며,  이다.

마찬가지로, 삼각환  오른쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.[2]:17, Proposition 1.17(2)

 

여기서

  •   오른쪽 아이디얼이다.
  •    -부분 가군이며,  이다.

마찬가지로, 삼각환  양쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.[2]:17, Proposition 1.17(3)

 

여기서

  •   양쪽 아이디얼이다.
  •   양쪽 아이디얼이다.
  •    -부분 쌍가군이며,  이자  이다.

뇌터·아르틴 조건편집

삼각환  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:19, Theorem 1.22

  •  왼쪽 뇌터 환이다.
  •   왼쪽 뇌터 환이며,   -뇌터 가군이다.

삼각환  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:19, Theorem 1.22

  •  오른쪽 뇌터 환이다.
  •   오른쪽 뇌터 환이며,   -뇌터 가군이다.

삼각환  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:19, Theorem 1.22

삼각환  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:19, Theorem 1.22

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자명한 경우편집

만약  이라면, 모리타 환은 다음과 같이 단순히 직접곱과 같다.

 

만약  이며,    양쪽 아이디얼이라면, 모리타 환

 

  계수 2×2 행렬환의 부분환이다.

오른쪽 가군에 대응되는 모리타 문맥편집

  위의 오른쪽 가군  가 주어졌을 때, 다음과 같은 모리타 문맥을 정의할 수 있다.[1]:486

  •  
  •  
  •  ,  
  •  ,  

이러한 모리타 문맥은 모리타 동치의 정의에 사용된다. 구체적으로, 만약  유한 생성 사영 가군이며 오른쪽 가군 범주  생성 대상이라면, 이는    사이의 모리타 동치를 정의한다.

역사편집

모리타 문맥과 모리타 환은 모리타 기이치모리타 동치 이론을 전개하기 위하여 도입하였다. "모리타 문맥"(영어: Morita context)이라는 용어는 하이먼 배스가 도입하였다.[5][1]:460

참고 문헌편집

  1. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. 
  2. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. 
  3. Pécsi, Bertalan (2012년 8월). “On Morita contexts in bicategories”. 《Applied Categorical Structures》 (영어) 20 (4): 415–432. ISSN 0927-2852. doi:10.1007/s10485-011-9247-2. 
  4. Chase, Stephen U. (1961). “A generalization of the ring of triangular matrices”. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 18: 13–25. ISSN 0027-7630. MR 0123594. Zbl 0113.02901. 
  5. Bass, Hyman (1962). 《The Morita theorem: lecture notes》 (영어). University of Oregon. 
  • Loustaunau, Philippe; Shapiro, Jay (1990). 〈Morita contexts〉. 《Non-commutative ring theory. Proceedings of a conference held in Athens, Ohio, Sept. 29–30, 1989》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1448. 80–92쪽. doi:10.1007/BFb0091253. 

외부 링크편집