모리타 문맥

(삼각환에서 넘어옴)

환론에서 모리타 문맥([森田]文脈, 영어: Morita context)은 두 개의 쌍가군으로 정의되는 수학적 구조이며, 이를 사용하여 모리타 환([森田]環, 영어: Morita ring)이라는, 2×2 행렬들로 구성된 을 정의할 수 있다. 만약 두 쌍가군 가운데 하나가 0이라면, 이에 대응되는 환은 삼각환(三角環, 영어: triangular (matrix) ring)이라고 하며, 이는 2×2 상삼각행렬들로 구성된다.

정의

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행렬을 통한 정의

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   사이의 모리타 문맥은 다음과 같은 데이터로 구성된다.[1]:486; 503, Exercise §18.18

  •  -쌍가군  
  •  -쌍가군  
  •  -쌍가군 준동형  
  •  -쌍가군 준동형  

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

  •  
  •  

모리타 문맥  이 주어졌을 때, 아벨 군

 

위에 다음과 같은 이항 연산을 부여하면 이는 을 이루며, 이를 모리타 환(영어: Morita ring)이라고 한다.

 

 의 원소를 다음과 같은 2×2 행렬

 

로 나타내며   를 생략한다면, 모리타 환의 곱은 행렬의 곱셈으로 생각할 수 있다. 따라서, 모리타 환은 기호로

 

로 표기한다.

특수한 경우로,  이며  ,  는 영 쌍가군을 정의역으로 하는 유일한 쌍가군 준동형이라고 하자. 이 경우 모리타 환  상삼각행렬로 구성되며, 이를 삼각환이라고 한다.[2]:16, Example 1.14[1]:503, Exercise §18.18 즉, 이는 아벨 군으로서 직합  이며, 그 위의 환 구조는 다음과 같다.

 

멱등원을 통한 정의

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삼각환은 다음과 같이 다르게 정의할 수도 있다.[3]:430, Theorem 6.4(c)[4] 모리타 문맥  은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  •  이다.
  •  는 멱등원이다. 즉,  를 만족시킨다.

이 정의는 쌍가군을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로,  가 주어졌을 때,

 
 
 
 
 
 
 
 

로 놓으면,  는 모리타 문맥을 이룬다. 반대로, 모리타 문맥  이 주어졌을 때,

 
 

로 놓으면, 이는 위 정의를 만족시킨다.

특히, 만약  일 경우,  는 삼각환  을 정의한다.

준가법 범주를 통한 정의

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모리타 문맥의 개념은 범주론적으로 간단히 정의할 수 있다.

모리타 문맥은 2개의 대상을 갖는 준가법 범주(즉, 아벨 군의 범주   위의 풍성한 범주)이다.[3]:430, Theorem 6.4(a) 이러한 준가법 범주  가 주어졌으며, 그 두 대상이   라고 하자. 그렇다면

 
 
 
 

로 놓으면, (준가법 범주에서의 자기 사상 모노이드을 이루므로)   는 자연스럽게 의 구조를 가지며, 사상의 합성을 통해   -쌍가군,   -쌍가군을 이룬다. 또한, 사상의 합성을 통하여 자연스럽게 사상

 
 

이 존재한다. 만약  일 경우 이는 삼각환을 정의한다.

2-범주를 통한 정의

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2-범주 이론을 통해, 모리타 문맥의 개념을 일반화할 수 있다. 구체적으로, 2-범주   속의 모리타 문맥  은 다음과 같은 데이터로 구성된다.[3]:424–425, Definition 5.1

  •    의 대상(=0-사상)이다.
  •    의 1-사상이다.
  •    의 2-사상이다.

다음과 같은 쌍가군 2-범주  를 생각하자.

  •  의 대상(=0-사상)은 이다.
  •  의 두 대상  ,   사이의 1-사상은  -쌍가군이다. 1-사상의 합성은 쌍가군의 텐서곱  으로 주어진다.
  •  의 두 대상  ,   사이의 두 1-사상  ,   사이의 2-사상은  -쌍가군 준동형  이다.

그렇다면, 2-범주   속의 모리타 문맥은 위의 다른 정의들과 동치이다.

성질

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삼각환  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  가환환이다.
  •   가환환이며,  이다.

아이디얼

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   -쌍가군  이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 삼각환  왼쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.[2]:17, Proposition 1.17(1)

 

여기서

  •   왼쪽 아이디얼이다.
  •    -부분 가군이며,  이다.

마찬가지로, 삼각환  오른쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.[2]:17, Proposition 1.17(2)

 

여기서

  •   오른쪽 아이디얼이다.
  •    -부분 가군이며,  이다.

마찬가지로, 삼각환  양쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.[2]:17, Proposition 1.17(3)

 

여기서

  •   양쪽 아이디얼이다.
  •   양쪽 아이디얼이다.
  •    -부분 쌍가군이며,  이자  이다.

뇌터·아르틴 조건

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삼각환  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:19, Theorem 1.22

  •  왼쪽 뇌터 환이다.
  •   왼쪽 뇌터 환이며,   -뇌터 가군이다.

삼각환  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:19, Theorem 1.22

  •  오른쪽 뇌터 환이다.
  •   오른쪽 뇌터 환이며,   -뇌터 가군이다.

삼각환  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:19, Theorem 1.22

삼각환  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:19, Theorem 1.22

자명한 경우

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만약  이라면, 모리타 환은 다음과 같이 단순히 직접곱과 같다.

 

만약  이며,    양쪽 아이디얼이라면, 모리타 환

 

  계수 2×2 행렬환의 부분환이다.

오른쪽 가군에 대응되는 모리타 문맥

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  위의 오른쪽 가군  가 주어졌을 때, 다음과 같은 모리타 문맥을 정의할 수 있다.[1]:486

  •  
  •  
  •  ,  
  •  ,  

이러한 모리타 문맥은 모리타 동치의 정의에 사용된다. 구체적으로, 만약  유한 생성 사영 가군이며 오른쪽 가군 범주  생성 대상이라면, 이는    사이의 모리타 동치를 정의한다.

역사

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모리타 문맥과 모리타 환은 모리타 기이치모리타 동치 이론을 전개하기 위하여 도입하였다. "모리타 문맥"(영어: Morita context)이라는 용어는 하이먼 배스가 도입하였다.[5][1]:460

참고 문헌

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  1. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. 
  2. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. 
  3. Pécsi, Bertalan (2012년 8월). “On Morita contexts in bicategories”. 《Applied Categorical Structures》 (영어) 20 (4): 415–432. doi:10.1007/s10485-011-9247-2. ISSN 0927-2852. 
  4. Chase, Stephen U. (1961). “A generalization of the ring of triangular matrices”. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 18: 13–25. ISSN 0027-7630. MR 0123594. Zbl 0113.02901. 
  5. Bass, Hyman (1962). 《The Morita theorem: lecture notes》 (영어). University of Oregon. 
  • Loustaunau, Philippe; Shapiro, Jay (1990). 〈Morita contexts〉. 《Non-commutative ring theory. Proceedings of a conference held in Athens, Ohio, Sept. 29–30, 1989》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1448. 80–92쪽. doi:10.1007/BFb0091253. 

외부 링크

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