주 메뉴 열기

뇌터 환

(왼쪽 뇌터 환에서 넘어옴)

정의편집

뇌터 가군편집

범주   속의 대상  부분 대상들의 부분 순서 집합  오름 사슬 조건을 만족시킨다면,  뇌터 대상(영어: Noetherian object)이라고 한다.[1]:146

  위의 왼쪽 가군  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 왼쪽 뇌터 가군(영어: left Noetherian module)이라고 한다.

  •  왼쪽 가군 범주   속의 뇌터 대상이다. 즉,  부분 가군들의 격자  오름 사슬 조건을 만족시킨다.[2]:20
  •  의 모든 부분 가군유한 생성 가군이다. 즉, 임의의 부분 가군  에 대하여   이 존재한다.[2]:20, (1.18)

오른쪽 뇌터 가군(영어: right Noetherian module) 역시 마찬가지 조건을 만족시키는 오른쪽 가군으로 정의할 수 있다.

가환환 위의 가군의 경우, 왼쪽·오른쪽 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다.

뇌터 환편집

 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 뇌터 환(영어: left Noetherian ring)이라고 한다.

마찬가지로 오른쪽 뇌터 환(영어: right Noetherian ring)을 정의할 수 있다. 왼쪽 뇌터 환이자 오른쪽 뇌터 환인 환을 (양쪽) 뇌터 환(영어: (two-sided) Noetherian ring)이라고 한다.

가환환의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 뇌터 가환환(영어: Noetherian commutative ring)이라고 한다.

  • 왼쪽 뇌터 환이다.
  • 오른쪽 뇌터 환이다.
  • 양쪽 뇌터 환이다.
  • 스펙트럼  는 뇌터 스킴이다.[4]:83, Proposition II.3.2
  • 스펙트럼  는 국소 뇌터 스킴이다.
  • (코언 정리 영어: Cohen’s theorem) 모든 소 아이디얼  이 유한 생성 아이디얼이다.[5]

뇌터 스킴편집

스킴  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 국소 뇌터 스킴(局所-, 영어: locally Noetherian scheme)이라고 한다.

스킴  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 뇌터 스킴(영어: Noetherian scheme)이라고 한다.

성질편집

뇌터 가군의 성질편집

  위의 왼쪽 가군   및 그 부분 가군  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:20, (1.20)

  •  이 뇌터 가군이다.
  •    둘 다 뇌터 가군이다.

(아르틴 가군에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.)

  위의 왼쪽 가군  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:20, (1.19)

  •  은 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
  •  은 유한한 길이의 합성열을 갖는다. 즉,  이 존재하며,  은 모두 단순 가군이다.

특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.

뇌터 환의 성질편집

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

유한환왼쪽 아르틴 환 ⊊ 왼쪽 뇌터 환
유한환오른쪽 아르틴 환 ⊊ 오른쪽 뇌터 환

만약  가 왼쪽 뇌터 환이라면, 다음 환들 역시 왼쪽 뇌터 환이다.

만약  가 뇌터 가환환이라면, 다음 가환환들 역시 뇌터 가환환이다.

  • 형식적 멱급수환  
  • 임의의 곱셈 모노이드  에 대하여, 국소화  

 부분환  가 주어졌으며,  가환환이며,   -유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  가 왼쪽 뇌터 환이다.
  •  가 뇌터 환이다.

그러나 만약  가환환이 아니라면 이는 성립하지 않을 수 있다.

뇌터 가환환의 경우, 크룰 높이 정리가 성립한다. 특히, 뇌터 가환환의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합내림 사슬 조건을 만족시킨다. (그러나 이는 비가환 왼쪽 뇌터 환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.)

뇌터 스킴의 성질편집

국소 뇌터 스킴의 줄기는 모두 뇌터 국소환이다.[6]:55, Proposition 2.3.46(a) (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.) 국소 뇌터 스킴의 구조층은 (스스로 위의 가군층으로서) 연접층이다. 국소 뇌터 스킴은 항상 준분리 스킴이다 (즉, 국소 뇌터 스킴  에 대하여, 유일한 스킴 사상  준분리 사상이다).

뇌터 스킴은 뇌터 공간이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

 가 국소 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 국소 뇌터 스킴이다.

 가 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 뇌터 스킴이다.

특히, 위의 대수다양체는 뇌터 스킴이다.

편집

모든 데데킨트 정역은 뇌터 환이다. (따라서, 모든 주 아이디얼 정역, 유클리드 정역, , 이산 값매김환은 데데킨트 정역이므로 뇌터 가환환이다.) 모든 정칙 국소환은 뇌터 환이다.

반면, 뇌터 환이 아닌 유일 인수 분해 정역이나 뇌터 환이 아닌 값매김환이 존재한다.

뇌터 벡터 공간편집

  위의 가군(벡터 공간)의 경우 다음 세 조건이 서로 동치이다.

오른쪽 뇌터 환이 아닌 왼쪽 뇌터 환편집

무한 차수의 체의 확대

 
 

가 주어졌다고 하자. (예를 들어,  를 잡을 수 있다.) 그렇다면 삼각환

 

를 생각하자. 이는 왼쪽 뇌터 환이자 왼쪽 아르틴 환이지만, 오른쪽 뇌터 환이나 오른쪽 아르틴 환이 아니다.[2]:22, Corollary 1.24

뇌터 환의 부분환인 비뇌터 환편집

 가 뇌터 환이 아닌 임의의 정역이라고 하자. 그렇다면, 그 분수체  는 (이므로) 뇌터 환이며,  는 그 부분환이다.

삼각환  은 오른쪽 뇌터 환이며, 양쪽 뇌터 환  의 부분환이지만, 왼쪽 뇌터 환이 아니다.[2]:20, Corollary 1.23)

뇌터 조건의 비국소성편집

임의의 무한 기수  에 대한 직접곱  을 생각하자. 이는 뇌터 환이 아니다. 반면, 임의의 소 아이디얼  에서의 국소화  는 뇌터 환이다.

역사편집

에미 뇌터는 1921년 논문[7]에서 환의 아이디얼의 오름 사슬 조건을 분석하였다. 훗날 뇌터를 기념하여 이 환들이 "뇌터 환"으로 불리게 되었다.

참고 문헌편집

  1. Faith, Carl (1973). 《Algebra: rings, modules, and categories I》. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 190. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-80636-0. ISSN 0072-7830. doi:10.1007/978-3-642-80634-6. 
  2. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. 
  3. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics No. 189 (영어). Springer. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. 
  4. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. 
  5. Cohen, Irvin Sol (1950). “Commutative rings with restricted minimum condition”. 《Duke Mathematical Journal》 (영어) 17 (1): 27–42. ISSN 0012-7094. MR 0033276. Zbl 0041.36408. doi:10.1215/S0012-7094-50-01704-2. 
  6. Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) 6. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 5월 10일에 확인함. 
  7. Noether, Emmy (1921). “Idealtheorie in Ringbereichen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 83 (1–2): 24–66. ISSN 0025-5831. doi:10.1007/BF01464225. 2015년 7월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 16일에 확인함. 

외부 링크편집