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환론에서, 사영 가군(射影加群, 영어: projective module)은 자유 가군직합으로 분해하였을 때의 한 성분으로 나타낼 수 있는 가군이다. 가군의 범주에서의 사영 대상이다.

목차

정의편집

  위의 왼쪽 가군  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 사영 왼쪽 가군이라고 한다.

  • 모든 짧은 완전열  분할 완전열이다.
  •  자유 가군왼쪽 가군  가 존재한다.
  • 함자  완전 함자이다. 여기서  아벨 군들의 범주이다.
  • 모든 가군 준동형  전사 가군 준동형  에 대하여,  인 가군 준동형사상  이 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질이 아니다.)
     

마찬가지로, 오른쪽 가군에 대하여 사영 오른쪽 가군을 정의할 수 있다.

국소 자유 가군편집

가환환   위의 가군  이 다음 조건을 만족시킨다면 점별 자유 가군(영어: pointwise free module)이라고 한다.

  • 모든 소 아이디얼  에 대하여   -자유 가군이다.

가환환   위의 가군  이 다음 조건을 만족시킨다면 국소 자유 가군(영어: locally free module)이라고 한다.

  • 모든 소 아이디얼  에 대하여,   -자유 가군이 되는  가 존재한다.

이 개념들은 가군층에 대하여 일반화할 수 있다. 일반적으로, 환 달린 공간   위의  -가군층  가 다음 조건을 만족시킨다면, 점별 자유 가군층(영어: pointwise free sheaf of modules)이라고 한다.

  • 모든 점  에 대하여 줄기   -자유 가군이다.

환 달린 공간   위의  -가군층  가 다음 조건을 만족시킨다면, 국소 자유 가군층(局所自由加群層, 영어: locally free sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules localement libre)이라고 한다.[1]:48, (5.4.1)

  • 모든 점  에 대하여,  가 되는 열린 근방  기수  가 존재한다.

국소 자유 가군층의 기하학적 정의편집

스킴   위의, 계수  대수적 벡터 다발(영어: algebraic vector bundle)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 스킴  
  • 스킴 사상  
  • 열린 덮개  
  •  에 대하여, 스킴 동형 사상  

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  • 임의의   및 임의의 아핀 열린집합  에 대하여,  는 어떤  -선형 변환  에 의하여 유도된다.

  위의 대수적 벡터 다발의 동형 사상

 

은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  •  -스킴의 동형 사상  

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  •  는 대수적 벡터 다발을 이룬다. 즉, 임의의  ,   에 대하여, math>i_{U'} \circ i_U^{-1} \colon \mathbb A^n_R \to \mathbb A^n_R</math>는 어떤  의 원소에 의하여 유도된다.

이 경우, 계수  의 대수적 벡터 다발의 개념은 계수  의 국소 자유 가군층의 개념과 동치이다.[2]:128–129, Exercise Ⅱ.5.18 구체적으로, 대수적 벡터 다발  에 대응되는 가군층은 다음과 같다.

 

성질편집

일반적 환의 경우편집

(비가환일 수 있는, 1을 갖는)   위의 왼쪽 가군  에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

자유 가군 ⊂ 사영 가군 ⊂ 평탄 가군꼬임 없는 가군

가환환의 경우편집

국소 가환환이나 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 사영 가군은 자유 가군이다.

가환환 위의 가군에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.

사영 가군 ⊂ 점별 자유 가군
국소 자유 가군 ⊂ 점별 자유 가군

가환환 위의 유한 생성 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 사영 가군이다.
  • 국소 자유 가군이다.

세르-스완 정리에 따르면, 가환환   위의 유한 생성 사영 가군의 범주는   위의 유한 계수 국소 자유 가군층들의 범주와 동치이다.

가환환 위의 유한 표시 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 국소 자유 가군이다.
  • 점별 자유 가군이다.
  • 사영 가군이다.
  • 평탄 가군이다.

특히, 뇌터 가환환 위의 모든 유한 생성 가군유한 표시 가군이므로, 이 경우 위 조건들이 서로 동치이게 된다.

계수편집

점별 자유 가군층   에서의 계수(영어: rank)는  -자유 가군  의 계수이며, 이는 함수

 

를 정의한다. (여기서  는 모든 기수모임이다.)

 (의 충분히 큰 부분 집합)에 이산 위상을 부여하였을 때, 만약  가 국소 자유 가군층이라면 계수 함수  는 (정의에 따라) 연속 함수이다.

편집

 멱등원이라고 하자 (즉,  를 만족시킨다고 하자). 그렇다면  로부터 생성되는 왼쪽 아이디얼   의 사영 왼쪽 가군이다.

참고 문헌편집

  1. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). “Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 4. ISSN 0073-8301. MR 0217083. doi:10.1007/bf02684778. 
  2. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. 

외부 링크편집