환론에서, 모리타 동치([森田]同値, 영어: Morita equivalence)는 두 위의 가군 범주가 서로 동치가 되는 현상이다.

정의편집

모리타 동치편집

  위의 오른쪽 가군  가 주어졌을 때, 이에 대응하는 모리타 문맥  을 다음과 같이 정의할 수 있다.

  •  
  •  
  •  ,  
  •  ,  

 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주  생성 대상이라고 하자. 그렇다면,  에 대응되는 모리타 문맥  에 대하여,

  •  범주의 동치를 이룬다.
  •  가법 범주의 가법 동치를 이룬다.

반대로, 모든 가군 가법 범주의 가법 동치는 모리타 문맥에 의하여 유도되며, 이 모리타 문맥사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주  생성 대상인 가군에 의하여 유도된다. 즉, 가법 범주의 가법 동치

 

가 주어졌을 때,

  •  
  •  

로 놓으면,  사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주  생성 대상이며, 위 범주의 동치 에 의하여 생성되는 모리타 문맥에 의하여 생성된다. 특히, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다.

 
 

또한, 임의의 두 환  에 대하여 다음 두 모임이 서로 표준적으로 일대일 대응한다.

이와 같이, 두 환  ,   위의 가군 범주가 서로 가법 동치라면, 두 환이 서로 모리타 동치(영어: Morita-equivalent)라고 하며,

 

로 표기한다.

모리타 쌍대성편집

쌍가군  이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

 
 

이는 항상 서로 수반 함자를 이룬다.

 

수반 함자의 성분인 자연스러운 사상

 

동형 사상일 경우,  -오른쪽 가군   -반사 가군(영어:  -reflexive module)이라고 하자. 마찬가지로  -왼쪽 가군에 대하여 마찬가지로 반사 가군의 개념을 정의할 수 있다. 반사 가군의 범주를   로 표기하자. 이 경우,   는 위 함자에 대하여 서로 가법 동치이다.

아벨 범주  의 충만한 부분 가법 범주  가 다음 조건을 만족시킨다면 세르 부분 범주라고 한다.

짧은 완전열  에 대하여,  라면  이다.

쌍가군  에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이다.

  •   세르 부분 범주이며,   세르 부분 범주이며,  이며,  이다.
  •  ,  ,  ,  의 모든 몫가군은  -반사 가군이다.
  •  단사 가군이자  쌍대 생성 대상이며, 마찬가지로  단사 가군이자  쌍대 생성 대상이며, 또한  충실하게 균형 잡힌 쌍가군을 이룬다.

이 경우,  모리타 쌍대성(영어: Morita duality)을 정의한다고 한다.

또한, 위 조건이 성립한다면, 모든 유한 생성 가군유한 쌍대 생성 가군 -반사 가군이다. 또한, 위 조건을 만족시키는   에 대하여,  -반사 가군인지 여부는  -반사 가군인지 여부와 일치한다. 즉, 위 조건이 성립한다고 가정하면, 반사 가군 조건은  에 의존하지 않는다.

모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 유한 생성 가군의 쌍대 가군은 유한 쌍대 생성 가군이며, 그 역도 성립한다. 모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 단순 가군의 쌍대 가군은 단순 가군이며, (반사 가군인) 반단순 가군의 쌍대 가군은 반단순 가군이다.

편집

모든 환   및 양의 정수  에 대하여,   와 모리타 동치이다. 이를 정의하는 모리타 문맥 -자유 가군  에 의하여 생성된다. 즉,

  •  
  •  . 이는 행벡터(=  행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다.
  •  . 이는 열벡터(=  행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다.
  •  는 행벡터와 열벡터의 스칼라곱이다.
  •  는 열벡터와 행벡터의 외적이다.

아르틴-웨더번 정리에 따라서, 모든 반단순환  는 유한 개의 나눗셈환   위의 행렬환  들의 직접곱과 동형이며, 따라서 유한 개의 나눗셈환들의 직접곱과 모리타 동치이다.

 

역사편집

모리타 동치와 모리타 쌍대성은 모리타 기이치(1915~1995)가 1958년에 도입하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Morita, Kiiti (1958). “Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition”. 《Science reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku. Section A》 (영어) 6 (150): 83–142. ISSN 0371-3539. Zbl 0080.25702. 

외부 링크편집