삼차 형식
대수기하학과 대수적 수론에서, 삼차 형식(三次型式, 영어: cubic form)은 어떤 벡터 공간 또는 가군 위에 정의된 3차 동차 다항식이다.[1] 즉, 선형 형식과 이차 형식의 다음 차수의 동차 다항식이다.
정의
편집표수 0의 경우
편집가환환 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
- 인 가 존재한다.
여기서 는 의 가역원군이다.
특히, 만약 에서 ½이 존재한다면, 이 조건이 충족된다. 이 경우
을 잡을 수 있다.
이 경우, -자유 가군 위의 삼차 형식은 다음 조건을 만족시키는 함수
이다.
일반적 경우
편집일반적으로 삼차 형식의 분해를 잘 정의하기 위해서는 삼차 형식의 함수 말고도 스칼라 확대를 잘 정의하는 추가 데이터가 필요하다.[2]:187–188, §Ⅱ.4.1
가환환 위의 가군 위의 삼차 형식은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 함수
- 함수
이는 다음과 같은 호환 관계를 만족켜야 한다.
- . 여기서 및 <mah>\iota_{M\to M\otimes_KK[t]} \colon M \to M\otimes_KK[t]</math>는 다항식환의 상수 다항식으로 가는 단사 환 준동형 또는 가군 준동형이다.
만약 가 “충분히 크다면” (즉, 첫째 정의에 등장하는 조건을 만족시킨다면), 를 로부터 재구성할 수 있으나, 이는 일반적으로 성립하지 못할 수 있다.
삼차 형식의 분해
편집삼차 형식 가 주어졌을 때, 를
와 같이 분해할 수 있다. 여기서 는 가군 준동형
을 정의하며,
이다.
즉, 만약 에서 6이 가역원이라면, 로부터 를 재구성할 수 있다.
분류
편집일반적으로 삼차 형식의 분류는 불가능하며, 그 분석은 복잡한 대수기하학을 요구한다. 다만, 비교적 간단한 체(복소수체, 실수체 등)에서 2항 삼차 형식은 분류될 수 있다. 이는 항 삼차 형식은
개의 계수를 갖는데, 차원 공간 위의 일반선형군 은 차원이다. 즉, 그 모듈라이 공간은 일반적으로 차원이 된다. 일 때 이는 0이지만, 일 때 이는 양수가 되게 된다.
복소수 2항 삼차 형식
편집모든 복소수 2항 삼차 형식은 의 작용을 통해 다음과 같은 표준 형식 가운데 하나로 놓을 수 있다.[3]:§4.2
실수 2항 삼차 형식
편집모든 실수 2항 삼차 형식은 의 작용을 통해 다음과 같은 표준 형식 가운데 하나로 놓을 수 있다.[3]:§5.2
참고 문헌
편집- ↑ Manin, Yuri Ivanovich (1986) [1972]. 《Cubic forms》. North-Holland Mathematical Library (영어) 4 2판. North-Holland. ISBN 978-0-444-87823-6. MR 833513.
- ↑ McCrimmon, Kevin (2004). 《A taste of Jordan algebras》. Universitext (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/b97489. ISBN 978-0-387-95447-9. MR 2014924. Zbl 1044.17001.
- ↑ 가 나 Banchi, Maurizio (2013). 《Typical ranks of ternary cubic forms over ℝ》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문. Università degli Studi di Firenze.[깨진 링크(과거 내용 찾기)]
외부 링크
편집- “Cubic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Cubic hypersurface”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Cubic curve”. 《nLab》 (영어).