콤팩트 거리 공간
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
γ
:
S
1
=
[
0
,
1
]
/
(
0
∼
1
)
→
X
{\displaystyle \gamma \colon \mathbb {S} ^{1}=[0,1]/(0\sim 1)\to X}
의 길이
length
γ
=
sup
n
∈
Z
+
sup
t
0
,
t
1
,
t
2
,
…
,
t
n
∈
[
0
,
1
]
∑
i
=
1
n
d
(
γ
(
t
i
−
1
)
,
γ
(
t
i
)
)
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \operatorname {length} \gamma =\sup _{n\in \mathbb {Z} ^{+}}\sup _{t_{0},t_{1},t_{2},\dotsc ,t_{n}\in [0,1]}\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_{i}))\in [0,\infty ]}
를 생각하자.
X
{\displaystyle X}
수축량 은 다음과 같다.
sys
X
=
inf
{
length
γ
:
γ
∈
C
0
(
S
1
,
X
)
,
1
π
1
(
X
,
γ
(
0
)
)
≠
[
γ
]
∈
π
1
(
X
,
γ
(
0
)
)
}
{\displaystyle \operatorname {sys} X=\inf\{\operatorname {length} \gamma \colon \gamma \in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {S} ^{1},X),\;1_{\pi _{1}(X,\gamma (0))}\neq [\gamma ]\in \pi _{1}(X,\gamma (0))\}}
여기서
π
1
(
X
,
γ
(
0
)
)
{\displaystyle \pi _{1}(X,\gamma (0))}
점을 가진 공간
(
X
,
γ
(
0
)
)
{\displaystyle (X,\gamma (0))}
기본군 이다. 즉, 기본군 에서 자명하지 않은 동치류를 갖는 폐곡선 의 길이의 하한 이다.
n
{\displaystyle n}
연결 콤팩트 리만 다양체
M
{\displaystyle M}
수축량비 (收縮量比, 영어 : systolic ratio )는 다음과 같은 값이다.
SR
(
M
)
=
(
sys
M
)
n
vol
M
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \operatorname {SR} (M)={\frac {(\operatorname {sys} M)^{n}}{\operatorname {vol} M}}\in [0,\infty ]}
(만약
M
{\displaystyle M}
단일 연결 공간 이라면, 수축량비는 무한대이다.)
임의의 리만 다양체 구조가 주어진 2차원 원환면
T
2
{\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}
뢰브너 부등식 (영어 : Loewner inequality )이 성립한다.
SR
T
2
≤
2
3
{\displaystyle \operatorname {SR} \mathbb {T} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}}
여기서
vol
(
T
2
)
{\displaystyle \operatorname {vol} (\mathbb {T} ^{2})}
마찬가지로, 실수 사영 평면
R
P
2
{\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}
푸 부등식 ([蒲]不等式, 영어 : Pu’s inequality )이 성립한다.
SR
R
P
2
≤
π
2
{\displaystyle \operatorname {SR} \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}}
각종 곡면에 대하여, 수축량비의 상한은 다음과 같다.
곡면
수축량비의 상한
수축량비의 상한을 포화하는 리만 계량
구
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}
∞
(기본군 이 자명군 )
원환면
T
2
{\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}
2
/
3
{\displaystyle 2/{\sqrt {3}}}
정삼각형 격자의 몫
C
/
(
Z
+
exp
(
π
i
/
3
)
Z
)
{\displaystyle \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\exp(\pi \mathrm {i} /3)\mathbb {Z} )}
원환면
실수 사영 평면
R
P
2
{\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}
π
/
2
{\displaystyle \pi /2}
대칭 구 의 대척점에 대한 몫
{
x
∈
R
3
:
‖
x
‖
=
1
}
/
(
x
∼
−
x
)
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}\colon \|x\|=1\}/(x\sim -x)}
클라인 병
R
P
2
#
R
P
2
{\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}\#\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}
π
/
8
{\displaystyle \pi /{\sqrt {8}}}
[4]
보다 일반적으로, 종수
g
{\displaystyle g}
Σ
g
{\displaystyle \Sigma _{g}}
g
≥
1
{\displaystyle g\geq 1}
SR
(
Σ
g
)
≤
2
{\displaystyle \operatorname {SR} (\Sigma _{g})\leq 2}
사실, 충분히 큰
g
{\displaystyle g}
C
+
,
C
−
{\displaystyle C_{+},C_{-}}
C
−
(
ln
g
)
2
g
≤
SR
(
Σ
g
)
≤
C
+
(
ln
g
)
2
g
{\displaystyle C_{-}{\frac {(\ln g)^{2}}{g}}\leq \operatorname {SR} (\Sigma _{g})\leq C_{+}{\frac {(\ln g)^{2}}{g}}}
그로모프 부등식
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연결 콤팩트 리만 다양체
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
본질적 다양체 (영어 : essential manifold )라고 하자.
자연스러운 군 준동형
H
dim
M
(
M
;
R
)
→
H
dim
M
(
K
(
π
1
(
M
)
,
1
)
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {H} _{\dim M}(M;R)\to \operatorname {H} _{\dim M}(\operatorname {K} (\pi _{1}(M),1);R)}
[
M
]
∈
H
dim
M
(
M
)
{\displaystyle [M]\in \operatorname {H} _{\dim M}(M)}
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
가향 다양체 일 때
R
=
Z
{\displaystyle R=\mathbb {Z} }
R
=
F
2
{\displaystyle R=\mathbb {F} _{2}}
K
(
−
,
−
)
{\displaystyle \operatorname {K} (-,-)}
에일렌베르크-매클레인 공간 이다. 그로모프 부등식 (영어 : Gromov’s inequality )에 따르면, 각 차원
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
C
n
{\displaystyle C_{n}}
SR
M
≤
C
n
{\displaystyle \operatorname {SR} M\leq C_{n}}
수축량의 개념은 카를 뢰브너(독일어 : Karl Löwner , 체코어 : Karel Löwner 카렐 뢰브네르[* ] , 영어 : Charles Loewner 찰스 로브너[* ] , 1893~1968)가 도입하였다. “수축량”(프랑스어 : systole 시스톨[* ] )이라는 용어는 마르셀 베르제 가 1980년에 도입하였다.[1] 고대 그리스어 : συστολή 시스톨레[* ] (수축)에서 유래하였다.
참고 문헌
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![{\displaystyle \gamma \colon \mathbb {S} ^{1}=[0,1]/(0\sim 1)\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9547d22914b47e83bc57fb6a5fdcff64b2478e9b)
![{\displaystyle \operatorname {length} \gamma =\sup _{n\in \mathbb {Z} ^{+}}\sup _{t_{0},t_{1},t_{2},\dotsc ,t_{n}\in [0,1]}\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_{i}))\in [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a0a2617705afe7d73302199c10655579105180a)
![{\displaystyle \operatorname {sys} X=\inf\{\operatorname {length} \gamma \colon \gamma \in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {S} ^{1},X),\;1_{\pi _{1}(X,\gamma (0))}\neq [\gamma ]\in \pi _{1}(X,\gamma (0))\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98238dff2d4f93fa2fbc581a96e27ee9dbfda770)
![{\displaystyle \operatorname {SR} (M)={\frac {(\operatorname {sys} M)^{n}}{\operatorname {vol} M}}\in [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23c2b55681711234d01cf691a0f976cd04a85e9)
![{\displaystyle [M]\in \operatorname {H} _{\dim M}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324de07f34b9e5719a7b583ac39ef1b738198110)
