에일렌베르크-매클레인 공간

대수적 위상수학에서 에일렌베르크-매클레인 공간(-空間, 영어: Eilenberg–MacLane space)은 주어진 특정 차수의 호모토피 군을 제외하고 다른 호모토피 군이 모두 자명군인 위상 공간이다.

정의

군 $G$ 및 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ 에 대하여, 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(G,n)$ 은 다음과 같은 호모토피 군을 갖는 위상 공간이다.

\pi _{k}(K(G,n))={\begin{cases}G&k=n\\1&k\neq n\end{cases}}

만약 $n>1$ 이라면, $G$ 는 아벨 군이어야만 한다. 이러한 성질을 갖는 공간은 항상 존재하며, 항상 CW 복합체로 잡을 수 있으며, 약한 호모토피 동치를 무시하면 유일하다.

주어진 아벨 군 $G$ 에 대하여, 고리 공간 함자 $L$ 을 통해

\cdots {\xrightarrow {L}}K(G,2){\xrightarrow {L}}K(G,1){\xrightarrow {K}}(G,0)

을 정의할 수 있다. 이는 스펙트럼을 이루며, 에일린베르크-매클레인 스펙트럼이라고 한다. 이는 $G$ 계수의 코호몰로지를 나타내는 스펙트럼이다.

임의의 군 $G$ 및 양의 정수 $n$ 이 주어졌으며, 만약 $n>1$ 이라면 $G$ 가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면 $K(G,n)$ 는 다음과 같이 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.

$K(G,n)$ 을 이루는 CW 복합체를 다음과 같이 구성할 수 있다.

우선, $n$ 차원 초구들의 쐐기합의 $n$ 차 호모토피 군은 $n=1$ 일 경우 자유군이고, $n>1$ 일 경우 자유 아벨 군이다.

\pi _{1}\left(\bigvee _{I}\mathbb {S} ^{1}\right)\cong \langle I\rangle

\pi _{n}\left(\bigvee _{I}\mathbb {S} ^{n}\right)\cong \mathbb {Z} ^{\oplus I}

군 $G$ 의 표시

G\cong \langle I|(R_{j})_{j\in J}\rangle \qquad (R_{j}\in F(I)

를 임의로 고르자. 여기서 $F(I)$ 는 $n=1$ 일 경우 집합 $I$ 위의 자유군이며 $n>1$ 일 경우 집합 $I$ 위의 자유 아벨 군이다. 그렇다면, $n$ 차원 초구들의 쐐기합

X_{n}=\bigvee _{i\in I}\mathbb {S} ^{n}

을 생각하자. 각 $j\in J$ 에 대하여, $R_{j}\in F(I)\cong \pi _{n}(X_{1})$ 에 대응하는 사상

f_{j}\colon \mathbb {S} ^{n}\to \pi _{n}(X_{1})

을 고르자. 이 사상을 따라, $n+1$ 차원 세포들을 붙여 CW 복합체 $X_{n+1}$ 을 만들 수 있다. 그렇다면

\pi _{i}(X_{n+1})=0\qquad \forall i<n

\pi _{n}(X_{n+1})\cong G

이다. 그러나 $X_{n+1}$ 은 자명하지 않은 고차 호모토피 군을 가질 수 있다.

이를 차례로 다음과 같이 없앨 수 있다.

$\pi _{n+1}(X_{n+1})$ 의 생성원들을 골라, 그 수만큼 $n+2$ 차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 $X_{n+2}$ 라고 하자.
$\pi _{n+2}(X_{n+2})$ 의 생성원들을 골라, 그 수만큼 $n+3$ 차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 $X_{n+3}$ 라고 하자.
⋮

이와 같이 계속하여 모든 $n$ 에 대하여 $X_{n}$ 을 정의한 뒤, 그 귀납적 극한

X_{\infty }=\varinjlim _{n\to \infty }X_{n}

을 취하자. 그렇다면 $X_{n}$ 은 $K(G,n)$ 을 이룬다.

군 $G$ 에 이산 위상을 주자. 그렇다면, 분류 공간 $\operatorname {B} G$ 는 1차 에일렌베르크-매클레인 공간

\operatorname {B} G\simeq K(G,1)

을 이룬다. 이러한 분류 공간은 다음과 같이 단체 복합체로 구성할 수 있다. 우선, $\operatorname {E} G$ 가 다음과 같은 무한 차원 단체 복합체라고 하자.

$\operatorname {E} G$ 의 $n$ 차원 단체의 집합은 $G^{n+1}$ 이다.
$[g_{0},\dots ,g_{n}]\in G^{n+1}$ 은 각 $i$ 에 대하여 면 $[g_{0},\dots ,{\hat {g}}_{i},\dots ,g_{n}]\in G^{n}$ 과 붙여져 있다.

이는 축약 가능 공간이다. $\operatorname {E} G$ 위에는 다음과 같은 $G$ 의 작용이 존재한다.

g\colon \operatorname {E} G\to \operatorname {E} G

g\colon (g_{0},\dots ,g_{n})\mapsto (gg_{0},\dots ,gg_{n})

이에 따라 몫공간 $\operatorname {B} G=\operatorname {E} G/G$ 를 정의할 수 있다. 정의에 따라 이는 $\pi _{1}(\operatorname {B} G)\cong G$ 이며 고차 호모토피 군을 갖지 않는다.

마찬가지로 고차 에일렌베르크-매클레인 공간도 유사한 방법으로 정의할 수 있다.

다음이 성립한다.

K(G,n)\times K(H,n)\simeq K(G\times H,n)

K(G,n-1)\simeq \Omega K(G,n)

여기서 $\Omega X$ 는 $X$ 위의 고리 공간(영어: loop space)이다.

에크먼-힐튼 쌍대성(영어: Eckman–Hilton duality) 및 브라운 표현 정리에 따라, 코호몰로지는 에일렌베르크-매클레인 스펙트럼에 의하여 표현된다.

\operatorname {H} ^{n}(X;G)\cong \hom _{\operatorname {hTop} _{\bullet }}\left(X,K(G,n)\right)

특히,

\operatorname {H} ^{1}(X;\mathbb {Z} )\cong \hom _{\operatorname {hTop} _{\bullet }}\left(X,\mathbb {S} ^{1}\right)

\operatorname {H} ^{2}(X;\mathbb {Z} )\cong \hom _{\operatorname {hTop} _{\bullet }}\left(X,\mathbb {CP} ^{\infty }\right)

이다.

첫 등식은 $\operatorname {S} ^{1}$ 이 무한 순환군의 분류 공간 $\operatorname {B} \mathbb {Z}$ 이므로, $\mathbb {Z}$ -주다발은 1차 코호몰로지류에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, $f\colon X\to \mathbb {S} ^{1}$ 에 대응하는 코호몰로지류는 $\mathbb {S} ^{1}$ 의 유일한 1차 코호몰로지류의 당김이다.
둘째 등식은 $\mathbb {CP} ^{1}$ 이 원군의 분류 공간 $\operatorname {B} \operatorname {U} (1)$ 이므로, U(1)-주다발 (복소수 선다발)은 2차 코호몰로지류 (천 특성류)에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, $f\colon X\to \mathbb {CP} ^{\infty }$ 에 대응하는 코호몰로지류는 $\mathbb {CP} ^{\infty }$ 의 2차 코호몰로지 $\operatorname {H} ^{2}(\mathbb {CP} ^{\infty })\cong \mathbb {Z}$ 의 생성원의 당김이다.

대표적인 에일렌베르크-매클레인 공간으로는 다음이 있다.

$K(\mathbb {Z} ,1)$	$\mathbb {S} ^{1}$
$K(\mathbb {Z} ^{\oplus n},1)$	타원면 $\mathbb {T} ^{n}$
$K(F_{k},1)$ ( $k$ 차 자유군)	원의 쐐기합 $\bigwedge _{i=1}^{k}\mathbb {S} ^{1}$
$K(\mathbb {Z} /2,1)$	무한 차원 실수 사영 공간 $\mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )$
$K(\mathbb {Z} /m,1)$	무한 차원 렌즈 공간 $\mathbb {S} ^{\infty }/(\mathbb {Z} /m)$
$K(\pi _{1}(\Sigma _{g}),1)$	$\Sigma _{g}$ (종수 $g$ 콤팩트 가향 곡면)
$K(\pi _{1}(S^{3}\setminus K),1)$	$S^{3}\setminus K$ ( $K$ 는 매듭)
$K(\mathbb {Z} ,2)$	무한 차원 복소수 사영 공간 $\mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {C} )$
$K(\mathbb {Z} ,n)$	초구 위의 무한 차원 짜임새 공간 $\operatorname {Conf} ^{\infty }(\mathbb {S} ^{n})$

유한 차수 원소를 갖는 군 $G$ 에 대하여, $K(G,1)$ 은 유한 차원 CW 복합체가 될 수 없다.

↑ Eilenberg, S.; MacLane, S. (1945). “Relations between homology and homotopy groups of spaces”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 46: 480–509. ISSN 0003-486X.
↑ Eilenberg, S.; MacLane, S. (1950). “Relations between homology and homotopy groups of spaces II”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 51: 514–533. ISSN 0003-486X.