신경 (범주론)

범주론에서 신경(神經, 영어: nerve)은 작은 범주로부터 구성되는 단체 집합이다.

정의

신경은 작은 범주 · 함자 · 자연 변환의 2-범주 $\operatorname {Cat}$에서 단체 집합 · 단체 집합 사상 · 단체 집합 호모토피의 2-범주 $\operatorname {sSet}$로 가는 함자이다.

$\operatorname {nerve} \colon \operatorname {Cat} \to \operatorname {sSet}$

즉, 신경 함자는 다음과 같은 대응을 정의한다.

• 작은 범주 → 단체 집합
• 작은 범주 사이의 함자 → 단체 집합 사이의 사상
• 작은 범주 사이의 두 함자 사이의 자연 변환 → 단체 집합 사이의 두 사상 사이의 호모토피

단체 집합의 2-범주에서 위상 공간의 2-범주로 가는 기하학적 실현 함자

$|-|\colon \operatorname {sSet} \to \operatorname {Top}$

또한 존재한다. 신경과 기하학적 실현을 합성한 함자를 분류 공간(영어: classifying space) 함자라고 한다.

$|\operatorname {nerve} (-)|\colon \operatorname {Cat} \to \operatorname {Top}$

신경은 추상적으로 간단히 정의할 수 있으며, 추상적 정의를 구체적으로 길게 풀어서 정의할 수도 있다.

추상적 정의

작은 범주 ${\mathcal {C}}$가 주어졌다고 하자. 단체 범주 $\triangle$은 유한 전순서 집합과 순서 보존 함수의 범주이다. 모든 전순서 집합은 (보다 일반적으로, 모든 부분 순서 집합은) 가는(영어: thin) 작은 범주로 생각할 수 있다.

함자 $\operatorname {nerve} {\mathcal {C}}\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$를 다음과 같이, 전순서 집합에서 ${\mathcal {C}}$로 가는 함자들의 집합으로 정의하자.

$\operatorname {nerve} {\mathcal {C}}\colon n\mapsto \hom _{\operatorname {Cat} }(n,{\mathcal {C}})$

이러한 꼴의 함자는 단체 집합이라고 한다. 단체 집합 $\operatorname {nerve} {\mathcal {C}}$를 ${\mathcal {C}}$의 신경이라고 한다. 정의에 따라, 신경은 작은 범주의 범주에서 단체 집합의 범주로 가는 함자

$\operatorname {B} \colon \operatorname {Cat} \to \operatorname {sSet}$

를 이룬다.

구체적 정의

신경의 추상적인 정의는 구체적으로 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.

작은 범주 ${\mathcal {C}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여 집합 $\Delta _{n}$을 다음과 같은, 합성이 가능한 ${\mathcal {C}}$-사상들의 열

$X_{0}{\xrightarrow {f_{1}}}X_{1}{\xrightarrow {f_{2}}}X_{2}\to \cdots \to X_{n-1}{\xrightarrow {f_{n}}}X_{n}$

들의 집합이라고 하자. (특히, $\Delta _{0}$은 단순히 ${\mathcal {C}}$의 대상의 집합이며, $\Delta _{1}$은 단순히 ${\mathcal {C}}$의 사상의 집합이다.)

또한, 각 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ 및 자연수 $0\leq i\leq n$에 대하여 함수 $\partial _{n}^{i}$를 다음과 같이, $i$번째 대상을 생략하는 함수로 정의하자.

$\partial _{n}^{i}\colon \Delta _{n}\to \Delta _{n-1}$

$\partial _{n}^{i}\colon (X_{0}{\xrightarrow {f_{1}}}X_{1}\to \cdots \to X_{n-1}{\xrightarrow {f_{n}}}X_{n})\mapsto (X_{0}{\xrightarrow {f_{1}}}X_{1}\to \cdots \to X_{i-1}{\xrightarrow {f_{i+1}\circ f_{i}}}X_{i+1}\to \cdots \to X_{n-1}{\xrightarrow {f_{n}}}X_{n})$

$\partial _{n}^{0}\colon (X_{0}{\xrightarrow {f_{1}}}X_{1}\to \cdots \to X_{n-1}{\xrightarrow {f_{n}}}X_{n})\mapsto (X_{1}\to \cdots \to X_{n-1}{\xrightarrow {f_{n}}}X_{n})$

$\partial _{n}^{n}\colon (X_{0}{\xrightarrow {f_{1}}}X_{1}\to \cdots \to X_{n-1}{\xrightarrow {f_{n}}}X_{n})\mapsto (X_{0}{\xrightarrow {f_{1}}}X_{1}\to \cdots \to X_{n-1})$

또한, 각 자연수 $n\in \mathbb {N}$ 및 자연수 $0\leq i\leq n$에 대하여 함수 $s_{n}^{i}$를 다음과 같이, $i$번째 대상을 반복하며 그 사이에 항등 사상을 삽입하는 함수로 정의하자.

$s_{n}^{i}\colon \Delta _{n}\to \Delta _{n+1}$

$s_{n}^{i}\colon (X_{0}{\xrightarrow {f_{1}}}X_{1}\to \cdots \to X_{n-1}{\xrightarrow {f_{n}}}X_{n})\mapsto (X_{0}{\xrightarrow {f_{1}}}X_{1}\to \cdots \to X_{i}{\xrightarrow {\operatorname {id} _{X_{i}}}}X_{i}\to \cdots \to X_{n-1}{\xrightarrow {f_{n}}}X_{n})$

그렇다면 $(\Delta _{n},\partial _{n}^{i},s_{n}^{i})_{n,i}$는 단체 집합을 이룬다. 이를 작은 범주 ${\mathcal {C}}$의 신경 $\operatorname {nerve} {\mathcal {C}}$이라고 한다.

성질

신경 함자 $\operatorname {nerve} \colon \operatorname {Cat} \to \operatorname {sSet}$는 충실충만한 함자이다.

단체 집합 $S$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\operatorname {nerve} {\mathcal {C}}\cong S$인 작은 범주 ${\mathcal {C}}$가 존재한다.
• 끝 대상으로 가는 유일한 사상 $S\to 1$은 모든 내부 뿔 포함 사상 $\wedge _{n}^{i}\hookrightarrow \triangle _{n}$ ($n\in \mathbb {Z} ^{+}$, $0<i<n$)에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다.

단체 집합 $S$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\operatorname {nerve} {\mathcal {G}}\cong S$인 준군 ${\mathcal {G}}$가 존재한다.
• 끝 대상으로 가는 유일한 사상 $S\to 1$은 모든 뿔 포함 사상 $\wedge _{n}^{i}\hookrightarrow \triangle _{n}$ ($n\in \mathbb {Z} ^{+}$, $0\leq i\leq n$)에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다.

작은 범주 ${\mathcal {C}}$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${\mathcal {C}}$는 준군이다.
• $\operatorname {nerve} {\mathcal {C}}$는 칸 복합체이다. 즉, 끝 대상으로 가는 유일한 사상 $\operatorname {nerve} {\mathcal {C}}\to 1$은 모든 뿔 포함 사상 $\wedge _{n}^{i}\hookrightarrow \triangle _{n}$ ($n\in \mathbb {Z} ^{+}$, $0\leq i\leq n$)에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다.
• 끝 대상으로 가는 유일한 사상 $\operatorname {nerve} {\mathcal {C}}\to 1$은 모든 뿔 포함 사상 $\wedge _{n}^{i}\hookrightarrow \triangle _{n}$ ($n\in \mathbb {Z} ^{+}$, $0\leq i\leq n$)에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다.

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X\cong |S|$인 단체 집합 $S$가 존재한다.
• $X\cong |\operatorname {nerve} {\mathcal {C}}|$인 작은 범주 ${\mathcal {C}}$가 존재한다.

예

이산 위상을 부여한 군 $G$의 분류 공간 $\operatorname {B} G$를 정의할 수 있다.

군 $G$는 하나의 대상만을 갖는 작은 범주로 여길 수 있다. 그렇다면, 범주로서 $G$의 분류 공간은 이산 위상군으로서의 분류 공간과 호모토피 동치이다.

외부 링크

• “Nerve”. 《nLab》 (영어). 
• “Nerve and realization”. 《nLab》 (영어). 
• “Nerve theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Čech nerve”. 《nLab》 (영어). 
• “Segal condition”. 《nLab》 (영어). 
• “Geometric realization of categories”. 《nLab》 (영어). 
• Leinster, Tom (2008년 1월 6일). “How I learned to love the nerve construction”. 《The n-Category Café》 (영어). 2016년 4월 29일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 2월 15일에 확인함. 
• “The simplicial nerve”. 《Math Overflow》 (영어). 2016년 2월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 2월 15일에 확인함.