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대수적 위상수학에서, 분류 공간(分流空間, 영어: classifying space)는 어떤 위상군로 하는 모든 주다발들을 호모토피류들로 나타낼 수 있는 올다발이다.

정의편집

 위상군이라고 하자. 어떤  -주다발  이 주어졌을 때, 임의의 위상 공간  연속 함수  에 대하여,  -주다발  당겨서 정의할 수 있다.

만약 임의의 위상 공간  에 대하여,   위에 존재하는  -주다발  연속 함수  호모토피류  들과 위와 같은 사상을 통해 일대일 대응한다면,   분류 공간이라고 한다.

이 경우,   분류 공간,   전체 분류 공간(영어: total classifying space)이라고 한다. 즉,  -주다발들은  의 분류 공간을 공역으로 하는 호모토피류들과 일대일 대응한다.

성질편집

주어진 위상 공간의 분류 공간은 호모토피 동치 아래 유일하다.

위상군직접곱의 분류 공간은 각 위상군의 분류 공간의 곱공간(과 호모토피 동치)이다.

 

벡터 다발의 경우, 항상 리만 계량 (또는 에르미트 계량)을 줘 그 구조군 O(n) (실수 벡터 다발의 경우) 또는 U(n) (복소수 벡터 다발의 경우)의 주다발로 나타낼 수 있다. 따라서 벡터 다발은 그 구조군의 분류 공간으로 분류된다.

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  분류 공간   전체 공간  
아벨 군      
순환군   무한 차원 렌즈 공간   무한 차원 초구  
  무한 차원 실수 사영 공간   무한 차원 초구  
n개의 생성원의 자유군   n개의 들의 쐐기합  
유니터리 군 U(n) 복소수 그라스만 다양체   그라스만 다양체의 보편 다발(tautological bundle)
원군 U(1) 무한 차원 복소 사영 공간   무한 차원 초구  
직교군 O(n) 실수 그라스만 다양체   그라스만 다양체의 보편 다발(tautological bundle)

같이 보기편집

외부 링크편집