쌍선형 형식을 통한 정의
편집
2가 가역원 인 가환환
K
{\displaystyle K}
요르단 대수
A
{\displaystyle A}
K
{\displaystyle K}
가군
A
{\displaystyle A}
교환 법칙 을 만족시키는 쌍선형 이항 연산
∙
:
Sym
K
2
(
A
)
→
A
{\displaystyle \bullet \colon \operatorname {Sym} _{K}^{2}(A)\to A}
이 이항 연산 의 항등원
1
A
∈
A
{\displaystyle 1_{A}\in A}
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
(요르단 항등식 영어 : Jordan identity )
(
x
∙
y
)
(
x
∙
x
)
=
x
∙
(
y
∙
(
x
∙
x
)
)
∀
x
,
y
∈
A
{\displaystyle (x\bullet y)(x\bullet x)=x\bullet (y\bullet (x\bullet x))\qquad \forall x,y\in A}
(일부 문헌에서는 항등원의 존재를 요구하지 않는다.)
이차 형식을 통한 정의
편집
가환환
K
{\displaystyle K}
요르단 대수
A
{\displaystyle A}
K
{\displaystyle K}
가군
A
{\displaystyle A}
원소
1
A
∈
A
{\displaystyle 1_{A}\in A}
함수
U
:
A
→
hom
K
(
A
,
A
)
{\displaystyle U\colon A\to \hom _{K}(A,A)}
x
↦
U
x
{\displaystyle x\mapsto U_{x}}
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
U
1
A
=
1
A
{\displaystyle U_{1_{A}}=1_{A}}
U
α
x
=
α
2
U
x
{\displaystyle U_{\alpha x}=\alpha ^{2}U_{x}}
U
U
x
y
=
U
x
∘
U
y
∘
U
x
{\displaystyle U_{U_{x}y}=U_{x}\circ U_{y}\circ U_{x}}
U
x
∘
V
y
,
x
=
V
x
,
y
∘
U
x
{\displaystyle U_{x}\circ V_{y,x}=V_{x,y}\circ U_{x}}
V
x
,
y
z
=
(
U
x
+
z
−
U
x
−
U
z
)
y
{\displaystyle V_{x,y}z=(U_{x+z}-U_{x}-U_{z})y}
또한, 이 공리들은
K
{\displaystyle K}
K
→
K
~
{\displaystyle K\to {\tilde {K}}}
만약 2가 가역원일 때, 이 정의는 첫째 정의와 동치 이다. 그러나 이 정의는 만약 2가 가역원이 아닐 경우에도 잘 정의된다. 이 경우, 두 정의는 다음과 같이 대응된다.
첫째 정의
둘째 정의
A
{\displaystyle A}
결합 대수 일 경우
2
x
∙
(
x
∙
y
)
−
(
x
∙
x
)
∙
y
{\displaystyle 2x\bullet (x\bullet y)-(x\bullet x)\bullet y}
U
x
y
{\displaystyle U_{x}y}
x
y
x
{\displaystyle xyx}
2
(
x
∙
(
y
∙
z
)
+
(
x
∙
y
)
∙
z
−
(
x
∙
z
)
∙
y
)
{\displaystyle 2\left(x\bullet (y\bullet z)+(x\bullet y)\bullet z-(x\bullet z)\bullet y\right)}
V
x
,
y
z
=
(
U
x
+
z
−
U
x
−
U
z
)
y
{\displaystyle V_{x,y}z=(U_{x+z}-U_{x}-U_{z})y}
x
y
z
+
z
y
x
{\displaystyle xyz+zyx}
x
∙
y
{\displaystyle x\bullet y}
1
2
V
x
,
y
1
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}V_{x,y}1}
(
x
y
+
y
x
)
/
2
{\displaystyle (xy+yx)/2}
그러나 이 두 정의가 서로 동치 임을 증명하는 것은 전혀 자명하지 않다.
같은 가환환
K
{\displaystyle K}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
직합
A
⊕
B
{\displaystyle A\oplus B}
K
{\displaystyle K}
벡터 공간 으로서 이는 벡터 공간 의 직합 이며, 그 위의 연산은 다음과 같이 성분별로 정의된다.
(
a
,
b
)
∙
(
a
′
,
b
′
)
=
(
a
∙
a
′
,
b
∙
b
′
)
∀
a
,
a
′
∈
A
,
b
,
b
′
∈
B
{\displaystyle (a,b)\bullet (a',b')=(a\bullet a',b\bullet b')\qquad \forall a,a'\in A,\;b,b'\in B}
두 요르단 대수의 직합으로 표현될 수 없는 요르단 대수를 기약 요르단 대수 (영어 : irreducible Jordan algebra )라고 한다. 모든 유한 차원 요르단 대수는 기약 요르단 대수의 직합으로 분해되며, 이러한 분해는 (순서를 제외하면) 유일하다.[5] :38, §5
가환환
K
{\displaystyle K}
A
{\displaystyle A}
요르단 아이디얼 (영어 : Jordan ideal )은 다음과 같은
K
{\displaystyle K}
부분 가군
I
⊆
A
{\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq A}
A
∙
I
⊆
I
{\displaystyle A\bullet {\mathfrak {I}}\subseteq {\mathfrak {I}}}
U
{\displaystyle U}
U
I
(
A
)
+
U
A
(
I
)
⊆
I
{\displaystyle U_{\mathfrak {I}}(A)+U_{A}({\mathfrak {I}})\subseteq {\mathfrak {I}}}
요르단 아이디얼이 주어졌을 때, 요르단 대수의 몫 요르단 대수 (영어 : quotient Jordan algebra )
A
/
I
{\displaystyle A/{\mathfrak {I}}}
를 취할 수 있다. 반대로, 임의의 전사 요르단 대수 준동형
ϕ
:
A
→
B
{\displaystyle \phi \colon A\to B}
ϕ
−
1
(
0
B
)
⊆
A
{\displaystyle \phi ^{-1}(0_{B})\subseteq A}
요르단 아이디얼은 (
I
≠
A
{\displaystyle {\mathfrak {I}}\neq A}
정확하게 두 개의 아이디얼(
{
0
}
,
A
{\displaystyle \{0\},A}
단순 요르단 대수 (單純Jordan代數, 영어 : simple Jordan algebra )라고 한다.
동위 연산
편집
가환환
K
{\displaystyle K}
(
A
,
∙
)
{\displaystyle (A,\bullet )}
u
∈
A
{\displaystyle u\in A}
U
u
:
A
→
A
{\displaystyle U_{u}\colon A\to A}
전단사 함수 라고 하자 (즉,
U
u
∈
GL
(
A
;
K
)
{\displaystyle U_{u}\in \operatorname {GL} (A;K)}
A
{\displaystyle A}
U
x
(
u
)
=
U
x
∘
U
u
{\displaystyle U_{x}^{(u)}=U_{x}\circ U_{u}}
만약
2
∈
Unit
(
K
)
{\displaystyle 2\in \operatorname {Unit} (K)}
∙
(
u
)
{\displaystyle \bullet ^{(u)}}
x
∙
(
u
)
y
=
1
2
V
x
,
u
(
z
)
=
x
∙
(
u
∙
y
)
+
(
x
∙
u
)
∙
y
−
(
x
∙
y
)
∙
u
{\displaystyle x\bullet ^{(u)}y={\frac {1}{2}}V_{x,u}(z)=x\bullet (u\bullet y)+(x\bullet u)\bullet y-(x\bullet y)\bullet u}
이 요르단 대수 구조를
A
(
u
)
{\displaystyle A^{(u)}}
A
{\displaystyle A}
동위 (同位, 영어 : isotope )라고 한다.[1] :233, Proposition Ⅱ.7.2.1(1–2)
U
u
{\displaystyle U_{u}}
A
(
u
)
{\displaystyle A^{(u)}}
동위 연산은 다음 조건들을 만족시킨다.
A
(
1
)
=
A
{\displaystyle A^{(1)}=A}
A
(
u
)
(
v
)
=
A
U
u
(
v
)
{\displaystyle A^{(u)(v)}=A^{U_{u}(v)}}
이에 따라, 동위성은 동치 관계 를 이룬다.[1] :233, Proposition Ⅱ.7.2.1(4)
피어스 분해
편집
요르단 대수
(
A
,
∙
)
{\displaystyle (A,\bullet )}
e
∈
A
{\displaystyle e\in A}
e
2
=
e
{\displaystyle e^{2}=e}
e
∙
(
(
2
e
−
1
)
∙
(
(
e
−
1
)
∙
x
)
)
=
2
(
e
∙
(
e
∙
x
)
)
−
3
e
∙
(
e
∙
x
)
+
e
∙
x
=
0
∀
x
∈
A
{\displaystyle e\bullet ((2e-1)\bullet ((e-1)\bullet x))=2(e\bullet (e\bullet x))-3e\bullet (e\bullet x)+e\bullet x=0\qquad \forall x\in A}
이에 따라서, 만약
char
K
≠
2
{\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}
A
{\displaystyle A}
e
{\displaystyle e}
(
e
∙
)
:
A
→
A
{\displaystyle (e\bullet )\colon A\to A}
고윳값 은 0, 1, 또는 ½이며,
A
{\displaystyle A}
고유 공간 으로 분해된다.
A
=
A
0
(
e
)
⊕
A
1
/
2
(
e
)
⊕
A
1
(
e
)
{\displaystyle A=A_{0}(e)\oplus A_{1/2}(e)\oplus A_{1}(e)}
이를 피어스 분해 (영어 : Peirce decomposition )라고 한다.
구조 리 대수
편집
K
{\displaystyle K}
가환환 이며,
(
A
,
∙
)
{\displaystyle (A,\bullet )}
[
x
∙
,
y
∙
]
∈
d
e
r
(
A
,
∙
)
{\displaystyle [x\bullet ,y\bullet ]\in {\mathfrak {der}}(A,\bullet )}
이 성립함을 보일 수 있다. 여기서
(
x
∙
)
:
A
→
A
∈
g
l
(
A
;
K
)
{\displaystyle (x\bullet )\colon A\to A\in {\mathfrak {gl}}(A;K)}
이며, 리 괄호 는
g
l
(
A
;
K
)
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(A;K)}
d
e
r
(
A
,
∙
)
{\displaystyle {\mathfrak {der}}(A,\bullet )}
A
{\displaystyle A}
미분 리 대수 이다.
이에 따라서,
K
{\displaystyle K}
벡터 공간
s
t
r
(
A
)
=
d
e
r
(
A
)
⊕
A
{\displaystyle {\mathfrak {str}}(A)={\mathfrak {der}}(A)\oplus A}
위에 다음과 같은 리 괄호 를 주어
K
{\displaystyle K}
리 대수 로 만들 수 있다.
[
δ
,
ϵ
]
s
t
r
(
A
)
=
[
δ
,
ϵ
]
d
e
r
(
A
)
∀
δ
,
ϵ
∈
d
e
r
(
V
)
{\displaystyle [\delta ,\epsilon ]_{{\mathfrak {str}}(A)}=[\delta ,\epsilon ]_{{\mathfrak {der}}(A)}\qquad \forall \delta ,\epsilon \in {\mathfrak {der}}(V)}
[
δ
,
x
]
=
δ
(
x
)
∀
δ
∈
d
e
r
(
V
)
,
x
∈
A
{\displaystyle [\delta ,x]=\delta (x)\qquad \forall \delta \in {\mathfrak {der}}(V),\;x\in A}
[
x
,
y
]
=
[
x
∙
,
y
∙
]
∀
x
,
y
∈
A
{\displaystyle [x,y]=[x\bullet ,y\bullet ]\qquad \forall x,y\in A}
이를 요르단 대수
A
{\displaystyle A}
구조 리 대수 (構造Lie代數, 영어 : structure Lie algebra )라고 한다.[1] :12, §Ⅰ.0.3
물론,
A
{\displaystyle A}
1
A
∈
A
{\displaystyle 1_{A}\in A}
K
{\displaystyle K}
리 대수
s
t
r
′
(
A
)
=
d
e
r
(
A
)
⊕
A
/
Span
K
{
1
A
}
{\displaystyle {\mathfrak {str}}'(A)={\mathfrak {der}}(A)\oplus A/\operatorname {Span} _{K}\{1_{A}\}}
를 정의할 수 있다.
일반적으로, 요르단 대수는 결합 법칙 을 따르지 않는다. 다만, 요르단 항등식에 따라, 요르단 대수
(
A
,
∙
)
{\displaystyle (A,\bullet )}
(멱결합성 영어 : power-associativity ) 임의의 원소
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
x
{\displaystyle x}
결합 법칙 을 따른다. 특히,
x
n
{\displaystyle x^{n}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
(
x
m
∙
y
)
∙
x
n
=
x
m
∙
(
y
∙
x
n
)
∀
x
,
y
∈
A
,
m
,
n
∈
N
{\displaystyle (x^{m}\bullet y)\bullet x^{n}=x^{m}\bullet (y\bullet x^{n})\qquad \forall x,y\in A,\;m,n\in \mathbb {N} }
두 명제의 증명:
편의상, 결합자
[
a
,
b
,
c
]
=
(
a
∙
b
)
∙
c
−
a
∙
(
b
∙
c
)
{\displaystyle [a,b,c]=(a\bullet b)\bullet c-a\bullet (b\bullet c)}
를 정의하자.
우선, 교환 법칙 에 의하여, 다음이 항상 성립한다.
[
a
,
b
,
c
]
+
[
b
,
c
,
a
]
+
[
c
,
a
,
b
]
=
0
{\displaystyle [a,b,c]+[b,c,a]+[c,a,b]=0}
[
a
,
b
,
c
]
=
−
[
c
,
b
,
a
]
{\displaystyle [a,b,c]=-[c,b,a]}
요르단 항등식에 의하여,
(
(
α
a
+
β
b
+
γ
c
)
2
d
)
(
α
a
+
β
b
+
γ
c
)
−
(
(
α
a
+
β
b
+
γ
c
)
d
)
(
α
a
+
β
b
+
γ
c
)
2
=
0
{\displaystyle ((\alpha a+\beta b+\gamma c)^{2}d)(\alpha a+\beta b+\gamma c)-((\alpha a+\beta b+\gamma c)d)(\alpha a+\beta b+\gamma c)^{2}=0}
를 전개하고,
α
β
γ
{\displaystyle \alpha \beta \gamma }
[
b
∙
c
,
d
,
a
]
+
[
a
∙
b
,
d
,
c
]
+
[
a
∙
c
,
d
,
b
]
=
0
{\displaystyle [b\bullet c,d,a]+[a\bullet b,d,c]+[a\bullet c,d,b]=0}
수학적 귀납법 을 사용하여,
n
≤
N
{\displaystyle n\leq N}
x
n
{\displaystyle x^{n}}
m
+
n
≤
N
⟹
[
x
m
,
y
,
x
n
]
=
0
{\displaystyle m+n\leq N\implies [x^{m},y,x^{n}]=0}
임을 보이면 족하다. 그런데 위 항등식을 통해
[
x
m
,
y
,
x
n
]
=
[
x
m
−
1
x
,
y
,
x
n
]
=
[
x
m
−
1
,
y
,
x
n
+
1
]
+
[
x
,
y
,
x
m
+
n
−
1
]
(
m
+
n
≤
N
)
{\displaystyle [x^{m},y,x^{n}]=[x^{m-1}x,y,x^{n}]=[x^{m-1},y,x^{n+1}]+[x,y,x^{m+n-1}]\qquad (m+n\leq N)}
이므로, 이를 통해
−
[
x
n
,
y
,
x
m
]
=
[
x
m
,
y
,
x
n
]
=
m
[
x
,
y
,
x
m
+
n
−
1
]
(
m
+
n
≤
N
)
{\displaystyle -[x^{n},y,x^{m}]=[x^{m},y,x^{n}]=m[x,y,x^{m+n-1}]\qquad (m+n\leq N)}
이다. 그런데
n
=
1
{\displaystyle n=1}
−
[
x
,
y
,
x
m
]
=
m
[
x
,
y
,
x
m
]
{\displaystyle -[x,y,x^{m}]=m[x,y,x^{m}]}
이 되어, 즉
[
x
n
,
y
,
x
m
]
∝
[
x
,
y
,
x
m
]
=
0
{\displaystyle [x^{n},y,x^{m}]\propto [x,y,x^{m}]=0}
맥도널드 원리
편집
3개의 (비가환, 비결합) 변수에 대한 다항식
p
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle p(x,y,z)}
p
{\displaystyle p}
x
{\displaystyle x}
p
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle p(x,y,z)=0}
결합 대수 를 이루는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다면,
p
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle p(x,y,z)=0}
요르단 대수 에 대하여 성립한다. 이를 맥도널드 원리 (영어 : Macdonald principle )라고 한다.[1] :199, Theorem Ⅱ.5.1.1
형식적 실수 요르단 대수
편집
형식적 실수 요르단 대수 (영어 : formally real Jordan algebra )는 다음 조건을 만족시키는 요르단 대수
A
{\displaystyle A}
임의의
x
1
,
…
,
x
n
∈
A
∖
{
0
}
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in A\setminus \{0\}}
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
≠
0
{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}\neq 0}
실수에 대한 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수는 모두 분류되었다.[5] 단순 요르단 대수 (영어 : simple Jordan algebra )의 직합 으로 나타낼 수 있다.
단순 요르단 대수들의 목록은 다음과 같다.
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각행렬 들의 대수. 이 경우 곱셈은
M
∙
N
=
(
M
N
+
N
M
)
/
2
{\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
에르미트 행렬 들의 대수. 이 경우 곱셈은
M
∙
N
=
(
M
N
+
N
M
)
/
2
{\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
사원수 에르미트 행렬 들의 대수. 이 경우 곱셈은
M
∙
N
=
(
M
N
+
N
M
)
/
2
{\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
x
2
=
‖
x
‖
2
{\displaystyle x^{2}=\lVert x\rVert ^{2}}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
스핀 인자 (영어 : spin factor ) 또는 클리퍼드형 대수 (영어 : Clifford-type algebra )라고 한다. 이는 클리퍼드 대수 와의 유사성 때문이다.
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
팔원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은
M
∙
N
=
(
M
N
+
N
M
)
/
2
{\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}
예외 요르단 대수 (영어 : exceptional Jordan algebra ) 또는 앨버트 대수 (영어 : Albert algebra )라고 한다. 이는 미국의 수학자 에이브러햄 에이드리언 앨버트 의 이름을 딴 것이다.
기호
실수 차원
이름
정의
H
(
n
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {H} (n;\mathbb {R} )}
n
(
n
+
1
)
/
2
{\displaystyle n(n+1)/2}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
M
∙
N
=
(
M
N
+
N
M
)
/
2
{\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}
H
(
n
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {H} (n;\mathbb {C} )}
n
2
{\displaystyle n^{2}}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
에르미트 행렬 대수
M
∙
N
=
(
M
N
+
N
M
)
/
2
{\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}
H
(
n
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {H} (n;\mathbb {H} )}
n
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle n(2n-1)}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
사원수 에르미트 행렬 대수
M
∙
N
=
(
M
N
+
N
M
)
/
2
{\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}
JSpin
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {JSpin} (n)}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
스핀 인자
R
⊕
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ^{n}}
(
r
,
u
)
∙
(
s
,
v
)
=
(
r
s
+
⟨
u
,
v
⟩
,
r
v
+
s
u
)
{\displaystyle (r,\mathbf {u} )\bullet (s,\mathbf {v} )=(rs+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ,r\mathbf {v} +s\mathbf {u} )}
H
(
3
;
O
)
{\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {O} )}
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
27
앨버트 대수 (3×3 팔원수 에르미트 행렬 대수)
M
∙
N
=
(
M
N
+
N
M
)
/
2
{\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}
여기서, 다음과 같은 동형이 성립한다.
H
(
1
;
K
)
=
JSpin
(
0
)
=
R
(
K
∈
{
R
,
C
,
H
,
O
}
)
{\displaystyle \operatorname {H} (1;\mathbb {K} )=\operatorname {JSpin} (0)=\mathbb {R} \qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} \})}
[5] :50, §12
H
(
2
;
K
)
=
JSpin
(
1
+
dim
R
K
)
(
K
∈
{
R
,
C
,
H
,
O
}
)
{\displaystyle \operatorname {H} (2;\mathbb {K} )=\operatorname {JSpin} (1+\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {K} )\qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} \})}
[5] :50, §13 구체적으로,
a
−
1
=
(
1
0
0
−
1
)
{\displaystyle a_{-1}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
a
0
=
(
0
1
1
0
)
{\displaystyle a_{0}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}
a
i
=
(
0
e
i
−
e
i
0
)
(
i
∈
{
1
,
…
,
dim
R
K
−
1
}
)
{\displaystyle a_{i}={\begin{pmatrix}0&e_{i}\\-e_{i}&0\end{pmatrix}}\qquad (i\in \{1,\dotsc ,\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {K} -1\})}
로 잡으면,
a
i
∙
a
j
=
δ
i
j
1
2
×
2
∀
i
,
j
∈
{
−
1
,
0
,
1
,
…
,
dim
R
K
−
1
}
{\displaystyle a_{i}\bullet a_{j}=\delta _{ij}1_{2\times 2}\qquad \forall i,j\in \{-1,0,1,\dotsc ,\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {K} -1\}}
임을 알 수 있다 (
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
크로네커 델타 ).
자명한 요르단 대수
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임의의 가환환
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
자유 가군 위에는 유일한 (항등원을 갖는) 요르단 대수 구조가 존재한다. 이들은 물론 결합 법칙 및 교환 법칙 을 따른다.
결합 대수에 대응되는 요르단 대수
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표수 가 2가 아닌 체
K
{\displaystyle K}
결합 대수
A
{\displaystyle A}
x
∙
y
=
1
2
(
x
y
+
y
x
)
{\displaystyle x\bullet y={\frac {1}{2}}(xy+yx)}
를 정의하면, 이는 요르단 대수를 이룬다.
증명 :
요르단 항등식을 증명하면 족하다.
(
x
∙
y
)
∙
x
2
=
(
x
y
+
y
x
)
x
2
+
x
2
(
x
y
+
y
x
)
=
y
x
3
+
x
y
x
2
+
x
2
y
x
+
x
3
y
{\displaystyle (x\bullet y)\bullet x^{2}=(xy+yx)x^{2}+x^{2}(xy+yx)=yx^{3}+xyx^{2}+x^{2}yx+x^{3}y}
x
∙
(
y
∙
x
2
)
=
x
(
y
x
2
+
x
2
y
)
+
(
y
x
2
+
x
2
y
)
x
=
y
x
3
+
x
y
x
2
+
x
2
y
x
+
x
3
y
{\displaystyle x\bullet (y\bullet x^{2})=x(yx^{2}+x^{2}y)+(yx^{2}+x^{2}y)x=yx^{3}+xyx^{2}+x^{2}yx+x^{3}y}
이는
K
{\displaystyle K}
결합 대수 의 범주 에서
K
{\displaystyle K}
범주 로 가는 함자
(
−
)
+
:
Assoc
K
→
Jord
K
{\displaystyle (-)^{+}\colon \operatorname {Assoc} _{K}\to \operatorname {Jord} _{K}}
를 정의한다.
자유 요르단 대수
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주어진 체
K
{\displaystyle K}
대수 구조 다양체 를 이루며, 따라서 자유 요르단 대수영어 : free Jordan algebra )의 개념이 존재한다. 즉, 망각 함자
Jord
K
→
Vect
K
{\displaystyle \operatorname {Jord} _{K}\to \operatorname {Vect} _{K}}
의 왼쪽 수반 함자 가 존재한다.
0개의 원소로 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 요르단 대수는 1차원
K
{\displaystyle K}
벡터 공간 이다.
하나의 원소
x
{\displaystyle x}
다항식환
K
[
x
]
{\displaystyle K[x]}
파스쿠알 요르단 (1920년대 사진)파스쿠알 요르단 이 1933년에 도입하였다. 요르단은 원래 양자역학 의 관측 가능량의 대수를 다루기 위하여 도입하였다.[5] [7] [8]
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
X
∙
Y
=
(
X
Y
+
Y
X
)
/
2
{\displaystyle X\bullet Y=(XY+YX)/2}
이후 케빈 맥크리먼(영어 : Kevin McCrimmon )이 표수 2 에 대한 요르단 대수의 “올바른” 정의를 발견하였다. 이에 대하여 맥크리먼은 다음과 같이 적었다.
참고 문헌
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↑ 가 나 다 라 마 바 McCrimmon, Kevin (2004). 《A taste of Jordan algebras》. Universitext (영어). Springer-Verlag. doi :10.1007/b97489 . ISBN 978-0-387-95447-9 MR 2014924 . Zbl 1044.17001 . ↑ Jacobson, Nathan (1968). 《Structure and representations of Jordan algebras》. American Mathematical Society Colloquium Publication 39 (영어). Providence, R.I.: American Mathematical Society. MR 0251099 . Zbl 0218.17010 . ↑ Jacobson, Nathan (1969). 《Lectures on quadratic Jordan algebras》 (PDF) (영어). 뭄바이 : Tata Institute of Fundamental Research. ↑ Hanche-Olsen, H.; Størmer, E. (1984). 《Jordan Operator Algebras》 (영어). Monographs and Studies in Mathematics 21. Pitman. ISBN 0273086197 ↑ 가 나 다 라 마 Jordan, Pascual ; von Neumann, John ; Wigner, Eugene (1934). “On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 35 (1): 29–64. doi :10.2307/1968117 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1968117 . MR 1503141 . Zbl 0008.42103 . ↑ Rios, Michael (2007년 3월). “Jordan algebras and extremal black holes” (영어). arXiv :hep-th/0703238 . Bibcode :2007hep.th....3238R . ↑ Jordan, Pascual (1933). “Ueber Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik”. 《Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math. Phys. Kl. I》 (독일어) 41 : 209–217. JFM 59.0796.02 . Zbl 0007.08502 . ↑ Jordan, Pascual (1933년 5월). “Über die Multiplication quantenmechanischer Grössen”. 《Zeitschrift für Physik》 (독일어) 80 : 285–291. Bibcode :1933ZPhy...80..285J . doi :10.1007/BF01333854 .
외부 링크
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![{\displaystyle [x\bullet ,y\bullet ]\in {\mathfrak {der}}(A,\bullet )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81e37c66b5e55b7322d3502f3702e351dc04c94a)
![{\displaystyle [\delta ,\epsilon ]_{{\mathfrak {str}}(A)}=[\delta ,\epsilon ]_{{\mathfrak {der}}(A)}\qquad \forall \delta ,\epsilon \in {\mathfrak {der}}(V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee5262c90587c2dd8675c7e33d712117eb285e3d)
![{\displaystyle [\delta ,x]=\delta (x)\qquad \forall \delta \in {\mathfrak {der}}(V),\;x\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a37b31d1ed3b0a61a568f46e47d7281cbcbbb3)
![{\displaystyle [x,y]=[x\bullet ,y\bullet ]\qquad \forall x,y\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9256df672f879d7ef5c64038a2d029a9857faba3)
![{\displaystyle [a,b,c]=(a\bullet b)\bullet c-a\bullet (b\bullet c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d9cfdcdcae77fbe120f698033e57acfe5c998f)
![{\displaystyle [a,b,c]+[b,c,a]+[c,a,b]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774799430471f631e04a31793debf08413ce8bf2)
![{\displaystyle [a,b,c]=-[c,b,a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4770e588734f25c99a42529653de88f7cf0e49c)
![{\displaystyle [b\bullet c,d,a]+[a\bullet b,d,c]+[a\bullet c,d,b]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9032a151e2970bfc6a07c55b3876f2f6fbff42e3)
![{\displaystyle m+n\leq N\implies [x^{m},y,x^{n}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dad81f85e6a16570a3e3efc02f48875bac306df)
![{\displaystyle [x^{m},y,x^{n}]=[x^{m-1}x,y,x^{n}]=[x^{m-1},y,x^{n+1}]+[x,y,x^{m+n-1}]\qquad (m+n\leq N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fdc131429eaffc418e8194661ad32880db9eebb)
![{\displaystyle -[x^{n},y,x^{m}]=[x^{m},y,x^{n}]=m[x,y,x^{m+n-1}]\qquad (m+n\leq N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf41c4fe726f442b30a845d78777f28f9ee9924f)
![{\displaystyle -[x,y,x^{m}]=m[x,y,x^{m}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1e16c6807789e50c2f4ce740c68e9251775e9b)
![{\displaystyle [x^{n},y,x^{m}]\propto [x,y,x^{m}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2a63e1e56d0b782f1425448cd9d342c3a71529)
![{\displaystyle K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9e6c2ac2830d6a9abe078b47450777c41d69a9)
