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범주론에서, 풍성한 범주(豐盛-範疇, 영어: enriched category)는 "사상 집합"이 집합 대신 다른 모노이드 범주의 대상이 될 수 있는, 범주의 개념의 일반화이다.

목차

정의편집

모노이드 범주

 

가 주어졌다고 하자.   위의 풍성한 범주(영어: category enriched over  )  는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 모임  . 이 모임의 원소를  대상(영어: object)이라고 한다.
  • 임의의  에 대하여,  .
  • 임의의  에 대하여,  -사상  . 이는 항등 사상을 나타낸다.
  • 임의의  에 대하여,  -사상  . 이는 사상의 합성을 나타낸다.

이 데이터는 다음 세 그림을 가환하게 만들어야만 한다.

  • (사상 합성의 결합 법칙)
     
  • (사상 합성의 왼쪽 항등원)
     
  • (사상 합성의 오른쪽 항등원)
     

풍성한 함자편집

모노이드 범주   위의 두 풍성한 범주  ,   사이의  -풍성한 함자(영어:  -enriched functor)  는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 각 대상  에 대하여, 대상  
  • 두 대상  에 대하여,   속의 사상  

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

  • (항등원의 보존) 임의의 대상  에 대하여 다음 그림이 가환한다.
     
  • (사상 합성의 보존) 임의의 대상  에 대하여 다음 그림이 가환한다.
     

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국소적으로 작은 범주집합의 범주   위의 풍성한 범주와 같다.

n-범주편집

작은 범주의 범주   위의 풍성한 범주를 2-범주(영어: 2-category)라고 한다. 보다 일반적으로,  -범주의 범주   위의 풍성한 범주를  -범주(영어:  -category)라고 한다.

선형 범주편집

가환환   위의 가군들의 범주  텐서곱에 대하여 모노이드 범주를 이룬다. 이 위의 풍성한 범주는  -선형 범주(-線型範疇, 영어:  -linear category)라고 한다.

준가법 범주편집

특히,   (정수환)인 경우,  아벨 군의 범주  와 같다.  -풍성한 범주는 준가법 범주(準加法範疇, 영어: preadditive category)라고 하고,  -풍성한 함자는 가법 함자(加法範疇, 영어: additive functor)라고 한다.

준가법 범주는 항상 영 대상을 가지며, 유한 과 유한 쌍대곱이 일치한다.

가법 범주(영어: additive category)는 유한 완비 준가법 범주이다. (준가법 범주에서 유한 과 유한 쌍대곱이 일치하므로, 유한 완비 범주인 것은 유한 쌍대 완비 범주인 것과 동치이다.)

참고 문헌편집

외부 링크편집