호흐실트 호몰로지

추상대수학에서 호흐실트 호몰로지(영어: Hochschild homology)와 호흐실트 코호몰로지(영어: Hochschild cohomology)는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 호몰로지 · 코호몰로지 이론이다.

정의

편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 가환환  
  •  -결합 대수  
  •  -쌍가군  . 즉,   -쌍가군이며, 또한   위의 왼쪽  -작용이 오른쪽  -작용과 일치한다고 하자.

호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치이다.

  • 호흐실트 (코)호몰로지는 Ext 함자 (또는 Tor 함자)의 특수한 경우로 추상적으로 정의될 수 있다.
  • 호흐실트 (코)호몰로지는 호흐실트 (공)사슬 복합체(영어: Hochschild (co)chain complex)라는 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 구체적으로 정의될 수 있다.
  • 호흐실트 (코)호몰로지는 단체 대상의 이론을 통해 정의될 수 있다.

흔히,  인 특수한 경우가 자주 사용된다.

추상적 정의

편집

 포락 대수(包絡代數, 영어: enveloping algebra)

 

를 정의할 수 있다. 이는  -결합 대수이며,   -왼쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로,   왼쪽 가군을 이룬다. 구체적으로,

 
 

이다.

  계수의 호흐실트 호몰로지 군  호흐실트 코호몰로지 군  은 다음과 같이 Ext 함자Tor 함자로 정의된다.

 
 

구체적 정의

편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 가환환  
  •  -가군 범주의 단체 대상  

그렇다면,

 

를 정의하면,

 

이 되어, 사슬 복합체

 

를 정의할 수 있다. 이 사슬 복합체의 호몰로지를 단체 가군  호흐실트 호몰로지라고 한다. 마찬가지로, 이 사슬 복합체의 쌍대 가군들로 구성된 공사슬 복합체

 
 

코호몰로지를 단체 가군  호흐실트 코호몰로지라고 한다. (호흐실트 (코)호몰로지의 정의에는 퇴화 사상  이 쓰이지 않는다.)

특히, 만약 위와 같이   위의 결합 대수   -쌍가군  이 주어졌다면, 다음과 같은 호흐실트 단체 가군(영어: Hochschild simplicial module)  을 정의할 수 있다.[1]:45, (1.6.1.2)

 
 
 
 
 

결합 대수   계수 호흐실트 호몰로지란 그 호흐실트 단체 가군의 호흐실트 호몰로지를 말한다.

 사슬 복합체로서

 

의 꼴이다. 여기서   막대 복합체이다. 이제, 이를 쌍대화하여 공사슬 복합체

 

를 정의할 수 있으며,   계수 호흐실트 코호몰로지란 이 공사슬 복합체의 코호몰로지이다.

위상수학적 정의

편집

  계수의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같이 임의의 가군 범주 속의 단체 대상에 대하여 일반화될 수 있다.

다음이 주어졌다고 하자.

  • 가환환  
  •   속의 단체 대상  . 여기서  단체 범주이다.

그렇다면, 단체 가군의 범주  아벨 범주이므로 그 속에서 Ext 함자를 정의할 수 있다. 또한, 단체 가군의 텐서곱을 정의할 수 있으며, 그 유도 함자로서 Tor 함자를 정의할 수 있다.

이 경우,  호흐실트 호몰로지호흐실트 코호몰로지는 각각 다음과 같다.[1]:§6.2

 
 

여기서  는 모든 성분이 1차원 자유 가군  이며,    모두가 항등 함수인 자명한 단체 대상이다.

(사실, 만약  이라면, 호흐실트 단체 가군  는 추가로 순환 대상을 이룬다. 이 경우, 단체 가군의 범주 대신 순환 가군의 범주  에서 Tor 함자Ext 함자를 취할 수 있으며, 이 경우 순환 (코)호몰로지를 얻는다.[1]:213, Theorem 6.2.8[1]:214, Theorem 6.2.9)

성질

편집

가환환   위의 결합 대수   -쌍가군  에 대하여, 호흐실트 호몰로지   및 호흐실트 코호몰로지   -가군이며, 사실  -가군을 이룬다.[1]:10, §1.1.5

함자성

편집

임의의 가환환   위의 (항등원을 갖는) 결합 대수의 범주  와,  -결합 대수  가 주어졌을 때  -쌍가군의 범주  를 생각하자.

그렇다면, 호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같은 함자를 정의한다.[1]:10, §1.1.4

 
 

또한, 임의의  -결합 대수 준동형

 

 -쌍가군  에 대하여,   -쌍가군을 이루며, 이는 호흐실트 호몰로지의 사상[1]:10, §1.1.4

 

및 호흐실트 코호몰로지의 사상[1]:38, §1.5.1

 

을 유도한다.

특히, 만약  일 때, 이는  -결합 대수의 범주(의 반대 범주)에서  -가군의 범주로 가는 함자

 
 

를 정의한다.

0차 호흐실트 (코)호몰로지

편집

가환환   위의 결합 대수   -쌍가군  이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 호흐실트 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

 
 
 
 
 

이에 따라,

 

이다.[1]:10, §1.1.6

마찬가지로, 호흐실트 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

 
 
 
 

이에 따라,

 

환의 중심의 개념의 일반화이다.[1]:38, §1.5.2

1차 호흐실트 코호몰로지

편집

가환환   위의 결합 대수   -쌍가군  이 주어졌다고 하자.

1차 호흐실트 코호몰로지는 다음과 같다.[1]:38, §1.5.2 1차 호흐실트 공순환은  -가군 준동형

 

가운데

 

와 같은 곱 규칙을 만족시키는 것이다. 이러한 것들을 미분(영어: derivation)이라고 하자. 반면, 1차 호흐실트 공경계는

 

와 같은 꼴의  -가군 준동형이다. 즉, 이러한 것들을 내부 미분(영어: inner derivation)이라고 하자. 그렇다면, 1차 호흐실트 코호몰로지는 미분의 공간의, 내부 미분에 대한 몫, 즉 외부 미분(영어: outer derivation)의 공간으로 여겨질 수 있다.

가환 대수

편집

가환환   위의 가환 결합 대수   -가군  에 대하여, 처음 두 개의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.[2]:307, Proposition 9.2.2[1]:11, Proposition 1.1.10

 
 

여기서  켈러 미분의 가군이다.

즉, 1차 호흐실트 호몰로지는 1차 미분 형식에 대응한다. 비가환 기하학에서는 이를 사용하여 비가환 공간 위의 미분 형식을 정의한다.

다항식환

편집

복소수 계수 다항식환   ( )의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.

 

여기서  외대수이다. 구체적으로,  차 호흐실트 사슬은 다음과 같은 꼴이다.

 

호흐실트 사슬에 대응하는 호몰로지 동치류는 다음과 같다.

 

역사

편집

게르하르트 호흐실트가 1945년에 위의 결합 대수에 대하여 도입하였다.[3] 이후 앙리 카르탕사무엘 에일렌베르크가 일반적인 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의하였다.[4]

같이 보기

편집

각주

편집
  1. Loday, Jean-Louis (1998). 《Cyclic homology》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 301 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-11389-9. ISBN 978-3-642-08316-7. ISSN 0072-7830. MR 1217970. Zbl 0885.18007. 
  2. Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 38. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001. 
  3. Hochschild, Gerhard (1945). “On the cohomology groups of an associative algebra”. 《Annals of Mathematics》 46: 58–67. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969145. MR 0011076. 
  4. Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956). 《Homological algebra》 (영어). Princeton University Press. OCLC 529171. 

외부 링크

편집