실수 성분
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각 행렬
M
∈
Mat
(
n
,
n
;
R
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {R} )}
동치 이며, 이를 만족시키는
M
{\displaystyle M}
아다마르 행렬 이라고 한다.
모든 성분이
±
1
{\displaystyle \pm 1}
M
/
n
{\displaystyle M/{\sqrt {n}}}
직교 행렬 이다.
모든 성분이
±
1
{\displaystyle \pm 1}
i
,
i
′
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i,i'\in \{1,\dotsc ,n\}}
∑
j
=
1
n
M
i
j
M
i
′
j
=
n
δ
i
j
{\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}M_{ij}M_{i'j}=n\delta _{ij}}
M
M
⊤
=
n
1
n
×
n
{\displaystyle MM^{\top }=n1_{n\times n}}
모든 성분이
±
1
{\displaystyle \pm 1}
j
,
j
′
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle j,j'\in \{1,\dotsc ,n\}}
∑
i
=
1
n
M
i
j
M
i
j
′
=
n
δ
j
j
′
{\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}M_{ij}M_{ij'}=n\delta _{jj'}}
M
⊤
M
=
n
1
n
×
n
{\displaystyle M^{\top }M=n1_{n\times n}}
모든 성분이 절댓값 1 이하의 실수 이며,
det
M
=
±
n
n
/
2
{\displaystyle \det M=\pm n^{n/2}}
여기서
δ
{\displaystyle \delta }
크로네커 델타 이다.
첫째 행과 첫째 열이 모두 +1만으로 구성된 아다마르 행렬을 표준형 아다마르 행렬 (標準型Hadamard行列, 영어 : standard Hadamard matrix )이라고 한다. 모든 아다마르 행렬은 행 및 열의 순열 및 −1을 곱하는 것을 통해 표준형으로 만들 수 있다.
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
M
n
×
n
{\displaystyle M_{n\times n}}
첫째 행과 첫째 열을 제거하고,
성분을
(
+
1
,
−
1
)
↦
(
+
1
,
0
)
{\displaystyle (+1,-1)\mapsto (+1,0)}
그렇다면, 성분이 0 또는 1인
(
n
−
1
)
×
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)\times (n-1)}
정사각 행렬 을 얻는다.
만약
n
{\displaystyle n}
(
n
−
1
)
×
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)\times (n-1)}
(
t
=
2
,
n
/
2
−
1
,
n
−
1
)
{\displaystyle (t=2,n/2-1,n-1)}
블록 설계 의 결합 행렬을 이루며,
λ
0
=
n
−
1
{\displaystyle \lambda _{0}=n-1}
λ
1
=
n
/
2
−
1
{\displaystyle \lambda _{1}=n/2-1}
λ
2
=
n
/
4
−
1
{\displaystyle \lambda _{2}=n/4-1}
이다. 즉,
n
−
1
{\displaystyle n-1}
모든 점은
n
/
2
−
1
{\displaystyle n/2-1}
서로 다른 임의의 두 점은
n
/
4
−
1
{\displaystyle n/4-1}
이를 아다마르 설계 (Hadamard設計, 영어 : Hadamard design )라고 한다.
반대로,
λ
0
=
n
−
1
{\displaystyle \lambda _{0}=n-1}
(
2
,
n
/
2
,
n
−
1
)
{\displaystyle (2,n/2,n-1)}
블록 설계 가 주어졌을 때, 위와 같이 표준형 아다마르 행렬을 재구성할 수 있다.
임의의 자연수
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
필요 조건 은 다음과 같다.
n
∈
{
1
,
2
}
{\displaystyle n\in \{1,2\}}
n
{\displaystyle n}
이 조건이 필요 충분 조건 이라는 추측은 아다마르 추측 (Hadamard推測, 영어 : Hadamard conjecture )이라고 하며, 아직 증명되거나 반증되지 못했다. 다만, 적어도
n
<
668
{\displaystyle n<668}
필요 충분 조건 이다.
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
충분 조건 은 다음이 있다.
n
{\displaystyle n}
2
q
+
1
{\displaystyle q+1}
q
≡
3
(
mod
4
)
{\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}
q
{\displaystyle q}
소수 의 거듭제곱
2
(
q
+
1
)
{\displaystyle 2(q+1)}
q
≡
1
(
mod
4
)
{\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}}
q
{\displaystyle q}
소수 의 거듭제곱행렬 공간
X
n
=
{
M
∈
Mat
(
n
,
n
;
R
)
:
|
M
i
j
|
≤
1
∀
i
,
j
}
{\displaystyle {\mathcal {X}}_{n}=\{M\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {R} )\colon |M_{ij}|\leq 1\;\forall i,j\}}
아다마르 부등식 (영어 : Hadamard inequality )에 따르면,
∀
M
∈
X
n
:
|
det
M
|
≤
n
n
/
2
{\displaystyle \forall M\in {\mathcal {X}}_{n}\colon |\det M|\leq n^{n/2}}
이다.
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
행렬식 은
±
n
n
/
2
{\displaystyle \pm n^{n/2}}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
X
n
{\displaystyle {\mathcal {X}}_{n}}
행렬식 절댓값 함수
M
↦
|
det
M
|
{\displaystyle M\mapsto |\det M|}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
H
{\displaystyle H}
초과량 (超過量, 영어 : excess )은 그 모든 성분들의 합이다.
E
(
H
)
=
∑
i
,
j
H
i
,
j
∈
Z
{\displaystyle \operatorname {E} (H)=\sum _{i,j}H_{i,j}\in \mathbb {Z} }
이는 다음과 같은 상계 를 갖는다.
|
E
(
H
)
|
≤
n
3
/
2
{\displaystyle |\operatorname {E} (H)|\leq n^{3/2}}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
H
{\displaystyle H}
동치 이며, 이를 만족시키는 아다마르 행렬을 정칙 아다마르 행렬 (영어 : regular Hadamard matrix )이라고 한다.
E
(
H
)
=
n
3
/
2
{\displaystyle \operatorname {E} (H)=n^{3/2}}
각 행의 합과 각 열의 합이 각각 일정하다. 즉, 임의의
i
,
i
′
∈
{
1
,
2
,
…
,
n
}
{\displaystyle i,i'\in \{1,2,\dotsc ,n\}}
∑
j
=
1
n
(
M
i
,
j
−
M
i
′
,
j
)
=
∑
j
=
1
n
(
M
j
,
i
−
M
j
,
i
′
)
=
0
{\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}(M_{i,j}-M_{i',j})=\sum _{j=1}^{n}(M_{j,i}-M_{j,i'})=0}
정칙 아다마르 행렬의 크기는 항상 제곱수 이다. 즉,
1
×
1
{\displaystyle 1\times 1}
4
m
2
×
4
m
2
{\displaystyle 4m^{2}\times 4m^{2}}
만약
H
{\displaystyle H}
−
H
{\displaystyle -H}
임의의 한 열에 −1을 곱하기
임의의 한 행에 −1을 곱하기
열의 순서를 뒤바꾸기
행의 순서를 뒤바꾸기 임의의 두 아다마르 행렬
H
m
×
m
∈
Mat
(
m
,
m
;
R
)
{\displaystyle H_{m\times m}\in \operatorname {Mat} (m,m;\mathbb {R} )}
H
n
×
n
∈
Mat
(
n
,
n
;
R
)
{\displaystyle H_{n\times n}\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {R} )}
이 주어졌을 때, 그 크로네커 곱
H
m
×
m
⊗
H
n
×
n
=
H
m
n
×
m
n
{\displaystyle H_{m\times m}\otimes H_{n\times n}=H_{mn\times mn}}
은 역시 아다마르 행렬이다. 특히,
H
2
×
2
=
(
1
1
1
−
1
)
{\displaystyle H_{2\times 2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}
를 사용하여, 크기
2
k
{\displaystyle 2^{k}}
실베스터 구성 (영어 : Sylvester’s construction )이라고 한다.
이에 따라,
H
1
×
1
=
(
1
)
{\displaystyle H_{1\times 1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}}
로부터 시작하여
2
k
×
2
k
{\displaystyle 2^{k}\times 2^{k}}
페일리 구성 (영어 : Paley construction )은 유한체 를 사용하여 아다마르 행렬을 구성하는 방법이다.
q
{\displaystyle q}
소수 의 거듭제곱이라고 하자. 이제, 함수
χ
:
F
q
→
{
−
1
,
0
,
1
}
{\displaystyle \chi \colon \mathbb {F} _{q}\to \{-1,0,1\}}
χ
:
a
↦
{
0
a
=
0
1
a
∈
{
a
2
:
a
∈
F
q
×
}
−
1
a
∉
{
a
2
:
a
∈
F
q
}
{\displaystyle \chi \colon a\mapsto {\begin{cases}0&a=0\\1&a\in \{a^{2}\colon a\in \mathbb {F} _{q}^{\times }\}\\-1&a\not \in \{a^{2}\colon a\in \mathbb {F} _{q}\}\end{cases}}}
를 정의하자. (여기서
F
q
{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
유한체 이다.)
이제, 임의의 전단사 함수
{
1
,
2
,
…
,
q
}
→
F
q
{\displaystyle \{1,2,\dotsc ,q\}\to \mathbb {F} _{q}}
i
↦
a
i
{\displaystyle i\mapsto a_{i}}
를 고르자. 그렇다면,
q
×
q
{\displaystyle q\times q}
Q
i
j
=
χ
(
a
i
−
a
j
)
{\displaystyle Q_{ij}=\chi (a_{i}-a_{j})}
를 정의할 수 있다. 이를 야콥스탈 행렬 (영어 : Jacobsthal matrix )이라고 한다. 만약
q
≡
1
(
mod
4
)
{\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}}
−
1
∈
F
q
{\displaystyle -1\in \mathbb {F} _{q}}
Q
{\displaystyle Q}
대칭 행렬 이다 (
Q
i
j
=
Q
j
i
{\displaystyle Q_{ij}=Q_{ji}}
q
≡
3
(
mod
4
)
{\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}
−
1
{\displaystyle -1}
Q
{\displaystyle Q}
반대칭 행렬 이다 (
Q
i
j
=
−
Q
j
i
{\displaystyle Q_{ij}=-Q_{ji}}
이제,
(
q
+
1
)
×
(
q
+
1
)
{\displaystyle (q+1)\times (q+1)}
M
(
q
+
1
)
×
(
q
+
1
)
=
(
0
j
1
×
q
−
j
q
×
1
Q
q
×
q
)
{\displaystyle M_{(q+1)\times (q+1)}={\begin{pmatrix}0&j_{1\times q}\\-j_{q\times 1}&Q_{q\times q}\end{pmatrix}}}
을 정의할 수 있다. 여기서
j
1
×
q
=
(
1
1
⋯
1
)
{\displaystyle j_{1\times q}={\begin{pmatrix}1&1&\dotsm &1\end{pmatrix}}}
j
q
×
1
=
(
1
1
⋮
1
)
{\displaystyle j_{q\times 1}={\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}}
이다.
만약
q
≡
3
(
mod
4
)
{\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}
H
(
q
+
1
)
×
(
q
+
1
)
=
1
(
q
+
1
)
×
(
q
+
1
)
+
M
(
q
+
1
)
×
(
q
+
1
)
{\displaystyle H_{(q+1)\times (q+1)}=1_{(q+1)\times (q+1)}+M_{(q+1)\times (q+1)}}
(
q
+
1
)
×
(
q
+
1
)
{\displaystyle (q+1)\times (q+1)}
만약
q
≡
1
(
mod
4
)
{\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}}
M
{\displaystyle M}
0
↦
(
1
−
1
−
1
−
1
)
{\displaystyle 0\mapsto {\begin{pmatrix}1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}}}
±
1
↦
±
(
1
1
1
−
1
)
{\displaystyle \pm 1\mapsto \pm {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}
로 치환하면,
2
(
q
+
1
)
×
2
(
q
+
1
)
{\displaystyle 2(q+1)\times 2(q+1)}
1×1 행렬
(
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}}
및
(
−
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix}}}
은 아다마르 행렬이다. 이는 추가로 정칙 아다마르 행렬이다.
2×2 행렬
(
1
1
1
−
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}
은 표준형 아다마르 행렬이지만, 정칙 아다마르 행렬이 아니다.
1867년에 제임스 조지프 실베스터 가
2
k
×
2
k
{\displaystyle 2^{k}\times 2^{k}}
[ 4] 자크 아다마르 가 행렬의 행렬식 의 절댓값 의 최댓값의 상계를 발표하였으며,[ 5]
1933년에 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(영어 : Raymond Edward Alan Christopher Paley , 1907~1933)가 유한체 를 사용한 페일리 구성을 발견하였다.[ 6]
↑ Hedayat, A.; Wallis, W. D. (1978년 11월). “Hadamard matrices and their applications” . 《The Annals of Statistics》 (영어) 6 (6): 1184–1238. ISSN 0090-5364 . JSTOR 2958712 . ↑ Agaian, S. S. (1985). 《Hadamard matrices and their applications》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1168 . Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0101073 . ISBN 978-3-540-16056-4 ISSN 0075-8434 . ↑ Seberry, Jennifer; Yamada, Mieko (1992년 6월). 〈Hadamard matrices, sequences, and block designs〉 (PDF) . Dinitz, Jeffrey H.; Stinson, Douglas R. 《Contemporary design theory: a collection of surveys》 . Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization (영어). Wiley. 431–560쪽. ISBN 978-0-471-53141-8 ↑ Sylvester, James Joseph (1867). “Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign successions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton’s rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers”. 《Philosophical Magazine》 (영어) 34 : 461–475. ↑ Hadamard, Jacques (1893). “Résolution d’une question relative aux déterminants”. 《Bulletin des Sciences Mathématiques》 (프랑스어) 17 : 240–246. JFM 25.0221.02 . ↑ Paley, Raymond Edward Alan Christopher (1933년 4월). “On orthogonal matrices”. 《Journal of Mathematics and Physics》 (영어) 12 (1–4): 311–320. doi :10.1002/sapm1933121311 . JFM 59.0114.04 . Zbl 0007.10004 .
“Hadamard matrix” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 “Hadamard theorem” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 Weisstein, Eric Wolfgang. “Hadamard matrix” . 《Wolfram MathWorld 》 (영어). Wolfram Research. Weisstein, Eric Wolfgang. “Hadamard's maximum determinant problem” . 《Wolfram MathWorld 》 (영어). Wolfram Research. Weisstein, Eric Wolfgang. “Paley construction” . 《Wolfram MathWorld 》 (영어). Wolfram Research. Weisstein, Eric Wolfgang. “Paley's theorem” . 《Wolfram MathWorld 》 (영어). Wolfram Research. 이철희. “아다마르 행렬 (Hadamard matrix)” . 《수학노트》. 차재복 (2016년 10월 17일). “하다마드 행렬, 아다마르 행렬, Hadamard 행렬” . 《정보통신기술용어해설》. Sloane, Neil J. A. “A library of Hadamard matrices” (영어). Gupta, V. K.; Parsad, Rajender; Dhandapani, A. “Hadamard Matrix (Beta)” (영어). 2016년 3월 5일에 원본 문서 에서 보존된 문서. 2017년 5월 22일에 확인함 . 
