자연수
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
n
{\displaystyle n}
영어 :
n
{\displaystyle n}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
연결
n
{\displaystyle n}
정규 그래프 이다. (특히, 같은 양끝을 갖는 변은 존재하지 않으며, 서로 다른 두 꼭짓점 사이의 변의 수는 1개 또는 0개이다.)
Γ
{\displaystyle \Gamma }
그래프 색칠 이 주어져 있다. 꼭짓점의 색을
{
B
,
F
}
{\displaystyle \{{\mathsf {B}},{\mathsf {F}}\}}
보손 과 페르미온 의 머릿글자이다.) 특히,
Γ
{\displaystyle \Gamma }
이분 그래프 이어야 한다.또한,
Γ
{\displaystyle \Gamma }
계수 (영어 : rank )라고 하자.
Γ
{\displaystyle \Gamma }
{
1
,
2
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}
변 색칠 이 주어져 있다.또한,
Γ
{\displaystyle \Gamma }
{
+
,
−
}
{\displaystyle \{+,-\}}
변 색칠 을 이루지 않을 수 있다.) 이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
각 변의 양끝은 서로 다른 색의 꼭짓점 이며, 그 계수의 차는 1이다.
각 꼭짓점에 닿은
n
{\displaystyle n}
임의의 두 정수
1
≤
i
<
j
≤
n
{\displaystyle 1\leq i<j\leq n}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
순환 들의 분리 합집합 을 이룬다. 또한, 이러한 길이 4의 순환 속에서, 부호가
−
{\displaystyle -}
홀수 개(즉, 1개 또는 3개)이다. 두
n
{\displaystyle n}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
Γ
′
{\displaystyle \Gamma '}
σ
∈
{
B
,
F
}
{\displaystyle \sigma \in \{{\mathsf {B}},{\mathsf {F}}\}}
h
∈
Z
{\displaystyle h\in \mathbb {Z} }
Γ
{\displaystyle \Gamma }
(
σ
,
h
)
{\displaystyle (\sigma ,h)}
Γ
′
{\displaystyle \Gamma '}
(
σ
,
h
)
{\displaystyle (\sigma ,h)}
V
σ
,
h
(
Γ
)
{\displaystyle \operatorname {V} _{\sigma ,h}(\Gamma )}
V
σ
,
h
(
Γ
′
)
{\displaystyle \operatorname {V} _{\sigma ,h}(\Gamma ')}
이 두 아딘크라 사이의 C-동형 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.[1] :§7.2
각
σ
∈
{
B
,
F
}
{\displaystyle \sigma \in \{{\mathsf {B}},{\mathsf {F}}\}}
h
∈
Z
{\displaystyle h\in \mathbb {Z} }
전단사 함수
f
V
σ
,
h
(
Γ
,
σ
,
h
)
→
V
σ
,
h
(
Γ
′
)
{\displaystyle f\operatorname {V} _{\sigma ,h}(\Gamma ,\sigma ,h)\to \operatorname {V} _{\sigma ,h}(\Gamma ')}
각
v
∈
V
σ
,
h
(
Γ
,
σ
,
h
)
{\displaystyle v\in \operatorname {V} _{\sigma ,h}(\Gamma ,\sigma ,h)}
s
(
v
)
∈
{
±
1
}
{\displaystyle s(v)\in \{\pm 1\}}
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
(색의 보존) 각 변
(
u
,
v
)
∈
E
(
Γ
)
{\displaystyle (u,v)\in \operatorname {E} (\Gamma )}
(
u
,
v
)
{\displaystyle (u,v)}
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \in \{1,\dotsc ,n\}}
(
f
(
u
)
,
f
(
v
)
)
{\displaystyle (f(u),f(v))}
(부호의 보존) 임의의 변
(
u
,
v
)
∈
E
(
Γ
)
{\displaystyle (u,v)\in \operatorname {E} (\Gamma )}
σ
∈
{
±
1
}
{\displaystyle \sigma \in \{\pm 1\}}
(
f
(
u
)
,
f
(
v
)
)
∈
E
(
Γ
′
)
{\displaystyle (f(u),f(v))\in \operatorname {E} (\Gamma ')}
s
(
u
)
s
(
v
)
σ
{\displaystyle s(u)s(v)\sigma }
이 데이터는 성분이
{
0
,
−
1
,
+
1
}
{\displaystyle \{0,-1,+1\}}
가역 행렬 로 나타낼 수 있다.
보다 일반적으로, 임의의 복소수 가역 행렬 을 허용하면 아딘크라의 동형 의 개념을 얻는다. 그러나 이 개념은 아딘크라의 그래프 자체를 그래프 동형이 아닌 다른 그래프로 변환할 수 있다.[1] :§7.2
아딘크라의 크로모토폴로지 (영어 : chromotopology )는 아딘크라의 정의에서
꼭짓점에 칠해진 색깔
{
B
,
F
}
{\displaystyle \{{\mathsf {B}},{\mathsf {F}}\}}
변에 주어진 부호
{
±
}
{\displaystyle \{\pm \}}
꼭짓점의 계수 (및 부분 순서 ) 를 잊고, 대신
그래프 구조변의 색깔
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{1,\dotsc ,n\}}
만을 남긴 구조이다.
생성원
(
H
,
Q
1
,
…
,
Q
n
)
{\displaystyle (H,Q_{1},\dotsc ,Q_{n})}
초대칭 대수
{
Q
i
,
Q
j
}
=
2
δ
i
j
H
{\displaystyle \{Q_{i},Q_{j}\}=2\delta _{ij}H}
[
Q
i
,
H
]
=
0
{\displaystyle [Q_{i},H]=0}
를 생각하자. 이는 리 초대수
p
o
(
1
|
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {po}}(1|n)}
해밀토니언 연산자 의 단위는 [시간]−1 이며, 따라서 초대칭 연산자
Q
i
{\displaystyle Q_{i}}
−½ 이다.
이 경우, 아딘크라
Γ
{\displaystyle \Gamma }
V
=
⨁
v
∈
V
(
Γ
)
V
v
{\displaystyle V=\bigoplus _{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}V_{v}}
V
v
≅
C
∞
(
R
,
C
)
{\displaystyle V_{v}\cong {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}
를 생각하자. 이 복소수 벡터 공간 위에 다음과 같은
p
o
(
1
|
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {po}}(1|n)}
H
=
i
d
d
t
{\displaystyle H=\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}}
변
∙
u
−
−
−
i
,
σ
∙
v
{\displaystyle {\underset {u}{\bullet }}\;{\overset {i,\sigma }{-\!\!\!-\!\!\!-}}\;{\underset {v}{\bullet }}}
rank
u
=
rank
v
−
1
=
h
{\displaystyle \operatorname {rank} u=\operatorname {rank} v-1=h}
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}}
σ
∈
{
±
1
}
{\displaystyle \sigma \in \{\pm 1\}}
에 대하여, 만약
u
{\displaystyle u}
보손 이며
v
{\displaystyle v}
페르미온 이라면,
Q
i
ϕ
u
=
σ
ϕ
v
(
ϕ
∈
C
∞
(
R
,
C
)
)
{\displaystyle Q_{i}\phi _{u}=\sigma \phi _{v}\qquad (\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ))}
Q
i
ϕ
v
=
σ
i
d
d
t
ϕ
u
(
ϕ
∈
C
∞
(
R
,
C
)
)
{\displaystyle Q_{i}\phi _{v}=\sigma \mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\phi _{u}\qquad (\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ))}
만약
u
{\displaystyle u}
페르미온 이며
v
{\displaystyle v}
보손 이라면,
Q
i
ψ
u
=
σ
i
ψ
v
(
ψ
∈
C
∞
(
R
,
C
)
)
{\displaystyle Q_{i}\psi _{u}=\sigma \mathrm {i} \psi _{v}\qquad (\psi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ))}
Q
i
ψ
v
=
σ
d
d
t
ψ
u
(
ψ
∈
C
∞
(
R
,
C
)
)
{\displaystyle Q_{i}\psi _{v}=\sigma {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\psi _{u}\qquad (\psi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ))}
이를 아딘크라
Γ
{\displaystyle \Gamma }
이라고 한다.
아딘크라와 이 아딘크라에 대응하는 초대칭 표현 (초다중항 ) 사이의 관계는 다음과 같다.
아딘크라
초다중항
B
{\displaystyle {\mathsf {B}}}
보손 장
F
{\displaystyle {\mathsf {F}}}
페르미온 장
변
초대칭 의 작용
변에 붙은 숫자
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \in \{1,\dotsc ,n\}}
작용하는 초대칭 연산자
Q
1
,
…
,
Q
n
{\displaystyle Q_{1},\dotsc ,Q_{n}}
변에 붙은 부호
∈
{
+
,
−
}
{\displaystyle \in \{+,-\}}
초대칭 연산자가 작용했을 때 붙는 부호 (
Q
i
:
ϕ
↦
±
ψ
{\displaystyle Q_{i}\colon \phi \mapsto \pm \psi }
꼭짓점의 계수
장의 단위 ([시간]−k /2 에서의 k )
이와 같이
n
{\displaystyle n}
p
o
(
1
|
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {po}}(1|n)}
아딘크라 표현 (adinkra表現, 영어 : adinkraic representation )이라고 한다.
모든 크로모토폴로지에는 표준적으로 어떤 리만 곡면 을 대응시킬 수 있으며, 이 대응은 데생당팡 을 사용한다.[3]
구체적으로,
N
{\displaystyle N}
N
{\displaystyle N}
전순서 가 주어졌다고 하자. (후자를 무지개 (영어 : rainbow )라고 하기도 한다.) 그렇다면,
아딘크라의 그래프 에, 무지개의 정보를 추가하면, 띠그래프 를 이룬다.
띠그래프 의 각 변에 길이 1을 부여하면, 이는 계량 띠그래프이다.계량 띠그래프에는 항상 벨리 사상 및
Q
¯
{\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}
대수 곡선 (리만 곡면 )을 대응시킬 수 있다.
또한, 이 데이터에는 마찬가지로 데생당팡 이 대응된다. 이에 따라, 아딘크라의 구조는 다음과 같은 데이터에 대응된다.
2차원 아딘크라의 예는 다음과 같다.
Ｂ
¹／ ＼ ²
Ｆ Ｆ
₂＼ ／₁
Ｂ
여기서 변에 붙은 부호는 검은 색 또는 붉은 색으로 표시하였으며, 꼭짓점의 계수는 그림에서의 높이로 표시된다 (즉, 그림을 하세 도표 로 생각한다).
이는 초다중항
(
ϕ
,
ψ
,
χ
,
A
)
{\displaystyle (\phi ,\psi ,\chi ,A)}
Q
1
ϕ
=
ψ
{\displaystyle Q_{1}\phi =\psi }
Q
2
ϕ
=
χ
{\displaystyle Q_{2}\phi =\chi }
Q
1
χ
=
−
Q
2
ψ
=
A
{\displaystyle Q_{1}\chi =-Q_{2}\psi =A}
Q
1
ψ
=
Q
2
χ
=
H
ϕ
{\displaystyle Q_{1}\psi =Q_{2}\chi =H\phi }
Q
1
A
=
H
χ
{\displaystyle Q_{1}A=H\chi }
Q
2
A
=
−
H
ψ
{\displaystyle Q_{2}A=-H\psi }
을 나타낸다.
1차원 아딘크라의 예는 다음과 같다.
Ｆ
｜ 1
Ｂ
이는 초다중항
(
ϕ
,
ψ
)
{\displaystyle (\phi ,\psi )}
Q
1
ϕ
=
−
ψ
{\displaystyle Q_{1}\phi =-\psi }
Q
1
ψ
=
−
H
ϕ
{\displaystyle Q_{1}\psi =-H\phi }
를 나타낸다.
보다 일반적으로, 임의의 자연수
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
n
{\displaystyle n}
초입방체 의 꼭짓점과 변으로 이루어진 그래프 를 생각하자. 그 꼭짓들의 집합을 유한체
F
2
{\displaystyle \mathbb {F} _{2}}
벡터 공간
F
2
n
{\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}}
이 경우, 각 변에 색
c
(
(
s
1
,
s
2
,
…
,
s
i
−
1
,
0
,
s
i
+
1
,
…
,
s
n
)
,
(
s
1
,
s
2
,
…
,
s
i
−
1
,
1
,
s
i
+
1
,
…
,
s
n
)
)
=
i
{\displaystyle c\left((s_{1},s_{2},\dotsc ,s_{i-1},0,s_{i+1},\dotsc ,s_{n}),(s_{1},s_{2},\dotsc ,s_{i-1},1,s_{i+1},\dotsc ,s_{n})\right)=i}
를 부여하자. 그렇다면, 이는 크로모토폴로지를 이룬다. 이를 초입방체 크로모토폴로지영어 : hypercube chromotopology )라고 한다.[1] :§4
초입방체가 아닌 가장 간단한 연결 크로모토폴로지는 4차원이며, 다음과 같은 이진 선형 부호 에 대응한다.
{
(
0
,
0
,
0
,
0
)
,
(
1
,
1
,
1
,
1
)
}
⊆
F
2
⊕
4
{\displaystyle \{(0,0,0,0),(1,1,1,1)\}\subseteq \mathbb {F} _{2}^{\oplus 4}}
즉, 다음과 같은 꼴이다.[1] :Figure 5
_ F, G, H _
/ / \ \
B C D E
\ \ / /
`- A -´
즉, 여기서 F, G, H는 각각 B, C, D, E와 모두 변으로 연결돼 있지만, F와 G와 H 사이에는 변이 존재하지 않는다.
아샨티족 의 아딘크라 문양2004년에 마이클 폭스(영어 : Michael Faux )와 실베스터 제임스 게이츠 2세(영어 : Sylvester James Gates, Jr. )가 초대칭 양자장론을 분석하기 위하여 도입하였다.[2] 아샨티족 의 문화에서 사용되는 일종의 문양인 아딘크라(아칸어 : adinkra )에서 유래하였다.
![{\displaystyle [Q_{i},H]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b48c8fca9a9945370610e5770fdd926795f40cd6)
