안정점

대수기하학에서, 안정점(安定點, 영어: stable point)은 어떤 대수군의, 사영 대수다양체 위의 작용 아래, 그 안정자군이 유한하며, 그 궤도가 닫힌집합인 점이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 복소수 벡터 공간 $V$
• 가약 대수군 $G\leq \operatorname {SL} (V)$

그렇다면, 점 $x\in V$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 안정점이라고 한다.

1. 군의 작용의 궤도 $G.x$의 차원이 $G$의 차원과 같다. (즉, 안정자군이 유한하다.)
2. $G.x$가 $V$의 닫힌집합이다.

안정점의 집합을 $X^{\operatorname {s} }$라고 표기하자.

점 $x\in V$가 다음 조건을 만족시킨다면, 준안정점(영어: semistable point)이라고 한다.

• 어떤 $k$차 $G$-불변 동차 다항식 $p$에 대하여 ($k\geq 1$), $p(x)\neq 0$이다.

준안정점의 집합을 $X^{\operatorname {ss} }$라고 표기하자.

$V$에 대한 복소수 사영 공간 $\mathbb {P} (V)$의 점 $[x]\in \mathbb {P} (V)$의 경우, 그 점의 대표원 $x\in V$이 (준)안정점일 경우 마찬가지로 (준)안정점이라고 한다. $X$가 $\mathbb {P} (V)$ 속의, $G$의 작용에 대하여 불변인 사영 대수다양체일 경우에도 마찬가지로 정의한다.

성질

사영 대수다양체 $X\subseteq \operatorname {\mathbb {C} P} ^{n}=\operatorname {Proj} \mathbb {C} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]$를 정의하는 동차 아이디얼

${\mathfrak {I}}\subseteq \mathbb {C} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]$

을 생각하자. 그렇다면, $G$는 $\mathbb {C} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]/{\mathfrak {I}}$ 위에 작용한다. 이에 대한 고정점의 집합

$(\mathbb {C} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]/{\mathfrak {I}})^{G}$

을 생각하자. 이는 복소수체 위의 유한 생성 가환 결합 대수를 이루며, 어떤 사영 대수다양체를 정의한다. 이를 $X/\!/G$라고 한다.

이 경우, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

${\begin{matrix}X^{\operatorname {s} }&\subseteq &X^{\operatorname {ss} }&\subseteq X\\\downarrow &&\downarrow \\X^{\operatorname {s} }/G&\subseteq &X/\!/G\end{matrix}}$

여기서, $X^{\operatorname {ss} }$와 $X^{\operatorname {s} }$는 $X$의 열린집합이며, 마찬가지로 $X^{\operatorname {s} }/G$는 $X/\!/G$의 열린집합이다.

안정성의 수치 조건

$n$차원 복소수 벡터 공간 $V$의 복소수 사영 공간 $\operatorname {P} (V)$ 위에 $G\leq \operatorname {SL} (V;\mathbb {C} )$가 작용한다고 하자. 그렇다면, 임의의 대수적 군 준동형

$\lambda \colon \mathbb {C} ^{\times }\to G$

에 대하여, $V$를 다음과 같이 복소수 벡터 공간의 직합으로 분해할 수 있다.

$V_{i}=\{v\in V\colon \lambda (t)v=t^{i}v\}$

$V=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }V_{i}$

(일부 $i$에 대하여 $V_{i}=0$일 수 있다.) 이에 대한 사영 사상을

$\pi _{i}\colon V\twoheadrightarrow V_{i}$

라고 하자.

그렇다면, 임의의 $v\in V$에 대하여

$\mu _{\lambda }(v)=\min\{i\in \mathbb {Z} \colon \pi _{i}(v)\neq 0\}$

을 정의하자. 힐베르트-멈퍼드 수치 조건(Hilber-Mumford數値條件, 영어: Hilbert–Mumford numerical condition for stability)에 따르면, 임의의 $v\in V$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 임의의 $\lambda \colon \mathbb {C} ^{\times }\to G$에 대하여 $\mu _{\lambda }(v)<0$이다.
• $v$는 안정점이다.

마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 임의의 $\lambda \colon \mathbb {C} ^{\times }\to G$에 대하여 $\mu _{\lambda }(v)\leq 0$이다.
• $v$는 준안정점이다.

역사

1893년에 다비트 힐베르트가 (현대적 용어로는) 준안정점이 아닌 점을 ‘영형식’(독일어: Nullform 눌포름^[*])이라는 이름으로 연구하였다. 이후 데이비드 멈퍼드가 1965년에 안정점과 준안정점의 개념을 도입하였다.

외부 링크

• “GIT-stable point”. 《nLab》 (영어).