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리 대수 이론에서, 불변 다항식(不變多項式, 영어: invariant polynomial)은 어떤 리 대수의 원소를 변수로 가지며, 그 딸림표현 작용에 대하여 불변인 다항식이다.

정의편집

  위의 유한 차원 리 대수  쌍대 공간   위의 대칭 대수

 

를 생각하자.  가 다음 조건을 만족시킨다면,   차 불변 다항식이라고 한다.

 

  위의 불변 다항식은 각 차수들의 불변 다항식들의 합이다.

베유 대수편집

유한형 (즉, 각 차수의 차원이 유한한) L∞-대수  베유 대수(영어: Weil algebra)  는 다음과 같은 미분 등급 대수이다. 이는 미분 구조를 잊으면 자유 등급 가환 대수이며,  의 동차 원소 기저 라고 할 때,  의 생성원은   이다 ( ). 또한, 그 미분은 다음과 같다.

 
 

여기서  슈발레-에일렌베르크 대수  의 미분이다. 즉, 이는  을 따른다.

물론, 베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 전사 미분 등급 대수 준동형

 
 
 

이 존재한다.

L-대수의 불변 다항식편집

유한형 L-대수  의 불변 다항식은 베유 대수  의 원소   가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.[1]:Definition 4.1.13

 
 

즉, 베유 대수의 닫힌 원소 가운데,  만으로 생성되는 것이다.

이는 리 대수의 경우의 정의를 일반화한다.  가 리 대수인 경우, 불변 다항식은

 

의 원소이며, 여기서 불변 다항식 조건은 이 원소가 닫힌 원소라는 조건과 동치이다.

성질편집

리 대수  에 대하여,

 

는 리 군  분류 공간

 

의 (표수 0 특이 코호몰로지의) 모형이다. 즉, 그 (공사슬 복합체로서의) 코호몰로지는 이 위상 공간들의 (꼬임을 제외한) 특이 코호몰로지와 같다.

다시 말해,

 
 
 

이다. ( 의 원소들은 정의에 따라 모두 닫힌 원소이므로, 코호몰로지를 취할 필요가 없다.) 여기서  리 대수 코호몰로지이다.

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  위의 리 대수  킬링 형식

 

은 2차 불변 다항식이다. 즉,

 

이다.

단순 리 대수의 불변 다항식편집

계수  단순 리 대수 개의 불변 다항식을 가진다. 그 차수는 다음과 같다.[2]:59, §3.7

단순 리 대수 불변 다항식의 차수
  2, 3, …, n+1
 ,   2, 4, 6, …, 2n
  2, 4, 6, …, 2n−2, n
  2, 5, 6, 8, 9, 12
  2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
  2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
  2, 6, 8, 12
  2, 6

위 표에서, 첫 2차 불변 다항식은 항상 킬링 형식이다. “차수”란 다항식의 차수를 뜻한다. 이를 L∞-대수로 해석할 경우, 각 변수의 등급이 2이므로, L∞-대수로서의 등급은 다항식 차수의 2배이다. 이 수들은 해당 리 대수의 콤팩트 형식의 유리수 계수 특이 코호몰로지 환을 결정한다. 즉, 만약 불변 다항식의 차수가  라면, 리 군의 특이 코호몰로지 환은 차수

 

 개의 생성원으로 생성되는 외대수이다. 특히,

 

이다.

 의 경우, 그 불변 다항식은 다음과 같은 꼴이다. 리 대수의 원소를   무대각합 반 에르미트 행렬로 표현할 경우,

 

이다. 만약  인 경우는 (행렬이 무대각합이므로)  이 되며,  인 경우는 더 낮은 차수의 불변 다항식들의 곱의 합으로 표현될 수 있다.

 의 경우, 그 리 대수의 원소는 반대칭   행렬이며, 따라서 다음과 같은 불변 다항식을 적을 수 있다.

 

이 경우  홀수일 때  이다. 즉, 짝수 차수만이 남게 된다.  이 홀수일 때 불변 다항식들은  로 구성된다.  이 짝수일 때는 추가로  차 불변 다항식

 

이 존재한다.

참고 문헌편집

  1. Fiorenza, Domenico; Schreiber, Urs; Stasheff, Jim (2011). “Čech cocycles for differential characteristic classes — an ∞-Lie theoretic construction” (영어). arXiv:1011.4735. 
  2. Humphreys, James E. (1990). 《Reflection groups and Coxeter groups》 (영어). ISBN 978-0-52143613-7. doi:10.1017/CBO9780511623646. 

외부 링크편집