엡실론-델타 논법

해석학에서 엡실론-델타 논법(έψιλον-δέλτα論法, 영어: epsilon-delta argument)은 함수의 극한을 수학적으로 명확하게 정의하는 방법이다.

정의

$x$가 $c$와 $\delta$만큼 가까울 때, $f(x)$는 $L$과 $\epsilon$ 이내 만큼 가깝다.

실수 부분 집합 $E\subseteq \mathbb {R}$에 정의된 실숫값 함수

$f\colon E\to \mathbb {R}$

가 $E$의 극한점(=집합의 점들이 모여드는 점)

$a\in E'$

에서 가지는 극한

$\lim _{E\ni x\to a}f(x)=L$

을 엡실론-델타 논법을 통해 다음과 같이 정의를 할 수 있다.

• 임의의 $\epsilon >0$에 대하여, 어떤 $\delta >0$가 존재하여, 임의의 $x\in E$에 대하여, $0<|x-a|<\delta$는 $|f(x)-L|<\epsilon$을 함의한다.

이 조건의 기호 표기는 다음과 같다.

• $\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in E\colon \;0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon$

즉, 임의의 오차 범위를 시험하였을 때, 독립 변수가 일정 값과 어떤 작은 거리 이내인 값에 대한 함숫값과 극한값이 그 오차 범위 이내인 것을 보장한다는 뜻이다. 여기서 사용된 표현 및 기호의 의미는 다음과 같다.

• "임의의 $\epsilon >0$에 대하여, ..." 또는 $\forall \epsilon >0\;\cdots$는 모든 양의 실수 $\epsilon$이 그 뒤에 오는 조건을 예외 없이 만족시킨다는 뜻이다.
• "어떤 $\delta >0$가 존재하여, ..." 또는 $\exists \delta >0\;\cdots$는 적어도 하나의 양의 실수 $\delta$가 그 뒤에 오는 조건을 만족시킨다는 뜻이다.
• "...는 ...을 함의한다" 또는 $\cdots \implies \cdots$는 앞의 조건의 만족이 뒤의 조건의 만족을 보장한다는 뜻이다.
• $0<|x-a|<\delta$는 독립 변수의 값 $x$가 일정 값 $a$와 거리 $\delta$ 이내이되, $a$와 같지 않다는 뜻이다.
• $|f(x)-L|<\epsilon$는 함숫값 $f(x)$가 극한값인 $L$과 오차 $\epsilon$ 의 값 이내라는 뜻이다.

거리 공간의 경우

거리 공간 $(X,d_{X})$에서 거리 공간 $(Y,d_{Y})$로 가는 함수

$f\colon X\to Y$

가 $X$의 극한점

$a\in X'$

에서 가지는 극한

$\lim _{x\to a}f(x)=L$

의 엡실론-델타 논법을 통한 정의는 다음과 같다.

• 임의의 $\epsilon >0$에 대하여, 어떤 $\delta >0$가 존재하여, 임의의 $x\in X$에 대하여, $d_{X}(x,a)<\delta$는 $d_{Y}(f(x),L)<\epsilon$을 함의한다.

이 조건의 기호 표기는 다음과 같다.

• $\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in E\colon \;0<d_{X}(x,a)<\delta \implies d_{Y}(f(x),L)<\epsilon$

응용

함수의 극한 외의 여러 해석학적 개념을 엡실론-델타 논법을 통해 정의할 수 있다. 특히, 실수 함수에 대해서는 다음과 같다.

개념	엡실론-델타 정의
점에서 연속	$\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in E\colon \;|x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<\epsilon$
연속 함수	$\forall a\in E'\;\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in E\colon \;|x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<\epsilon$
균등 연속 함수	$\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x,y\in E\colon |x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon$

거리 공간의 경우

두 거리 공간 사이의 함수에 대한 여러 가지 개념의 엡실론-델타 정의는 다음과 같다.

개념	엡실론-델타 정의
점에서 연속	$\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\colon \;d_{X}(x,a)<\delta \implies d_{Y}(f(x),f(a))<\epsilon$
연속 함수	$\forall a\in E'\;\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\colon \;d_{X}(x,a)<\delta \implies d_{Y}(f(x),f(a))<\epsilon$
균등 연속 함수	$\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x,y\in X\colon d_{X}(x,y)<\delta \implies d_{Y}(f(x),f(y))<\epsilon$

역사

1817년 베른하르트 볼차노가 기본적인 개념을 세웠고, 19세기 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 최초 (ε, δ) 표기를 사용해 좀 더 엄밀하게 정의하였고, 후에 카를 바이어슈트라스가 이것을 논리적으로 더욱 엄밀하게 하여 정식화하였다.

같이 보기

• 함수의 극한
• 수열의 극한
• 미적분학
• 해석학 (수학)

외부 링크

• 이철희. “극한의 엄밀한 정의 - 엡실론과 델타”. 《수학노트》. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Epsilon-delta definition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Epsilon-delta proof”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.