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엡실론-델타 논법

해석학에서, 엡실론-델타 논법(έψιλον-δέλτα論法, 영어: epsilon-delta argument)은 함수의 극한을 수학적으로 명확하게 정의하는 방법이다.

정의편집

 
   만큼 가까울 때,    만큼 가깝다.

실수 부분 집합  에 정의된 실숫값 함수

 

 극한점(=집합의 점들이 모여드는 점)

 

에서 가지는 극한

 

엡실론-델타 논법을 통해 다음과 같이 정의할 수 있다.

  • 임의의  에 대하여, 어떤  가 존재하여, 임의의  에 대하여,   을 함의한다.

이 조건의 기호 표기는 다음과 같다.

  •  

즉, 임의의 오차 범위를 시험하였을 때, 독립 변수가 일정 값과 어떤 작은 거리 이내인 일이, 함숫값과 극한값이 그 오차 범위 이내인 것을 보장한다는 뜻이다. 여기서 사용된 표현 및 기호의 의미는 다음과 같다.

  • "임의의  에 대하여, ..." 또는  모든 양의 실수  이 그 뒤에 오는 조건(...)을 예외 없이 만족시킨다는 뜻이다.
  • "어떤  가 존재하여, ..." 또는  적어도 하나의 양의 실수  가 그 뒤에 오는 조건을 만족시킨다는 뜻이다.
  • "...는 ...을 함의한다" 또는  는 앞의 조건의 만족이 뒤의 조건의 만족을 보장한다는 뜻이다.
  •  는 독립 변수의 값  가 일정 값  거리   이내이되,  와 같지 않다는 뜻이다.
  •  는 함숫값  가 극한값  오차   이내라는 뜻이다.

거리 공간의 경우편집

거리 공간  에서 거리 공간  로 가는 함수

 

 극한점

 

에서 가지는 극한

 

엡실론-델타 논법을 통한 정의는 다음과 같다.

  • 임의의  에 대하여, 어떤  가 존재하여, 임의의  에 대하여,   을 함의한다.

이 조건의 기호 표기는 다음과 같다.

  •  

응용편집

함수의 극한 외의 여러 해석학적 개념을 엡실론-델타 논법을 통해 정의할 수 있다. 특히, 실수 함수에 대해서는 다음과 같다.

개념 엡실론-델타 정의
점에서 연속  
연속 함수  
균등 연속 함수  

거리 공간의 경우편집

두 거리 공간 사이의 함수에 대한 여러 가지 개념의 엡실론-델타 정의는 다음과 같다.

개념 엡실론-델타 정의
점에서 연속  
연속 함수  
균등 연속 함수  

역사편집

1817년 베른하르트 볼차노가 기본적인 개념을 세웠고, 19세기 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 최초 (ε, δ) 표기를 사용해 좀 더 엄밀하게 정의하였고, 후에 카를 바이어슈트라스가 이것을 논리적으로 더욱 엄밀하게 하여 정식화하였다.

같이 보기편집

외부 링크편집