칸토어 교점 정리

(유한 교집합 성질에서 넘어옴)

일반위상수학에서 칸토어 교점 정리(Cantor交點定理, 영어: Cantor’s intersection theorem)는 점점 작아지는 (공집합이 아닌) 콤팩트 집합들의 교집합공집합이 아니라는 정리이다.

정의

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위상 공간   속의 콤팩트 닫힌집합들로 구성된 하향 집합  가 주어졌다고 하자. 칸토어 교점 정리에 따르면,  인 것은  인 것과 동치이다.[1]:428, Lemma A.2.2

증명:

 이라면 자명하게  이다. 반대로  이라고 하자. 그렇다면, 임의의  에 대하여, 하향 집합의 정의에 따라

 

이다. 따라서

 

 열린 덮개이다. 그런데  콤팩트 공간이므로, 유한 부분 덮개

 

를 찾을 수 있다. 그렇다면 하향 집합의 정의에 의하여  하계

 
 

를 찾을 수 있다. 그런데 덮개의 정의에 의하여

 

이므로  이다.

특히,   속의 콤팩트 닫힌집합들의 하강

 

하향 집합을 이루므로 위 정리가 성립한다. 만약  하우스도르프 공간이라면 모든 콤팩트 집합닫힌집합이므로, 닫힌집합 가정을 생략할 수 있다.

약간 다른 형태로, 집합   속의 부분 집합들의 족  이 다음 조건을 만족시킨다면 유한 교차성(영어: finite intersection property)을 만족시킨다고 한다.

  • 임의의 유한 부분 집합  에 대하여,  

위상 공간  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  콤팩트 공간이다.
  •   속의 임의의 닫힌집합들의 족  가 유한 교차성을 만족시킨다면,  이다.

이로부터 하향 집합에 대한 형태를 쉽게 유도할 수 있다.

차분한 공간

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호프만-미슬러브 정리로부터, 칸토어 교점 정리의 차분한 공간 형태를 유도할 수 있다. 차분한 공간   속에서, 콤팩트 포화 집합들로 구성된 하향 집합  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[2]:302, Corollary 2[3]:381, Theorem 2.28

  •   역시 콤팩트 포화 집합이다.
  • 만약  열린집합이며,  라면,   가 존재한다.
  • 만약  라면,  이다.

증명:

임의의  열린 근방 필터  열린집합 격자  스콧 열린 필터이다.  하향 집합이므로,

 

역시 스콧 열린 필터를 이룬다. 호프만-미슬러브 정리에 의하여, 그 교집합

 

콤팩트 포화 집합이다. 또한, 호프만-미슬러브 정리에 의하여,  는 이 교집합의 열린 근방 필터이다.

 

만약  열린집합이며,  라면,  이므로,  는 어떤  열린 근방이다. 만약  이라면,  는 어떤  열린 근방이며, 이 경우  이다.

T1 공간의 모든 부분 집합은 포화 집합이다. 따라서, 차분한 T1 공간의 경우 포화 집합 조건을 생략하여도 좋다.

역사

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게오르크 칸토어가 증명하였다. 칸토어 집합은 이 정리를 사용하여 공집합이 아님을 보일 수 있다.

각주

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  1. de Vries, Jan (2014). 《Topological dynamical systems: an introduction to the dynamics of continuous mappings》. De Gruyter Studies in Mathematics (영어) 59. ISBN 978-3-11-034240-6. 2016년 8월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 14일에 확인함. 
  2. Keimel, Klaus; Paseka, Jan (1994). “A direct proof of the Hofmann-Mislove theorem”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 120 (1): 301–303. doi:10.2307/2160199. ISSN 0002-9939. JSTOR 2160199. MR 1195723. Zbl 0789.54030. 
  3. Martin, Keye (1999). “Nonclassical techniques for models of computation” (PDF). 《Topology Proceedings》 (영어) 24 (Summer): 375–405. ISSN 0146-4124. MR 1876383. Zbl 1029.06501. 2021년 5월 10일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2022년 5월 18일에 확인함. 

외부 링크

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