인접행렬

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그래프 이론에서, 인접 행렬(隣接行列, 영어: adjacency matrix)은 그래프에서 어느 꼭짓점들이 변으로 연결되었는지 나타내는 정사각 행렬이다.

정의편집

 개의 꼭짓점이 있는 그래프  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 내적 공간

 

을 정의할 수 있다.  인접 행렬    위의 선형 변환  이며, 그 성분은 다음과 같다.

 

(편의상 브라-켓 표기법을 사용하였다.) 이는 정의에 따라 대칭 연산자이다.

보다 일반적으로, 이와 같은 정의를 다중 그래프에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우,     사이의 변의 수가 된다. 다만, 이 경우 문헌에 따라 고리(시작과 끝이 같은 변)를 세는 법이 다를 수 있다.

화살집의 인접 행렬편집

국소 유한 화살집 (즉, 임의의 두 꼭짓점 사이의 변 집합이 유한한 화살집)  인접 행렬실수 선형 변환

 

이며, 그 성분은 다음과 같다.

 

즉,   에서 시작하고  에서 끝나는 변의 수이다. 만약 이러한 변이 없다면  이다. 특히,  는 꼭짓점  에서 스스로로 가는 변의 수이다. 이는 물론 일반적으로 대칭 연산자가 아니다.

이에 따라, 화살집  에 대하여,

 

은 꼭짓점  에서 꼭짓점  로 가는, 길이  보행의 수이다. (여기서 편의상 브라-켓 표기법을 사용하였다.) 마찬가지로, 대각합

 

은 길이  의 순환의 수이다.

성질편집

유한 그래프  의 인접 행렬의 고윳값의 집합을  스펙트럼(영어: spectrum)이라고 하고,  로 표기하자.

그래프는 자기 고리를 가질 수 없으므로, 그래프의 인접 행렬의 대각 성분들은 모두 0이다. 이에 따라, 그 대각합은 항상 0이다. 즉, 스펙트럼의 원소들의 (중복수를 고려한) 합은 0이다.

 의 스펙트럼의 최댓값   의 최대 차수(한 꼭짓점에 연결된 변의 수의 최댓값)보다 같거나 작다.

 

증명:

임의의 고윳값   및 이에 대응하는 고유 벡터  를 생각하자. 이제

 

라고 하자. (최댓값이 되는 꼭짓점이 여러 개라면, 임의로 하나를 고른다.) 또한, 일반성을 잃지 않고  으로 가정할 수 있다. (아니라면,  를 취하면 된다.)

그렇다면,

 

이다. 따라서,

 

이다.

또한, 유한 정규 그래프  에 대하여, 이 부등식이 포화된다.

 

정규 그래프의 경우 이 고윳값  의 중복수는  연결 성분의 수와 같다. 각 연결 성분  에 대응하는 고유 벡터  는 각 연결 성분  에 대하여

 

의 꼴이다. 특히,

 

는 항상 고윳값  고유 벡터를 이룬다.

연산에 대한 호환편집

임의의 두 그래프  ,  에 대하여,

 

이다. 여기서 좌변은 그래프의 분리합집합이며, 우변은 중복집합분리합집합이다.

임의의 두 그래프  ,  에 대하여,

 

이다. 여기서  는 그래프의 그래프 데카르트 곱을 뜻한다.

그래프 동형편집

 
같은 스펙트럼을 갖지만 서로 동형이 아닌 두 그래프

같은 수의 꼭짓점을 갖는 임의의 두 유한 그래프  ,  에 대하여, 두 그래프가 동형일 필요 충분 조건

 

순열 행렬

 

가 존재하는 것이다.

반면, 서로 동형이 아니지만, 스펙트럼이 같은 그래프들이 알려져 있다.

응용편집

인접 행렬의 특정 원소에 접근하는 데 걸리는 시간이 상수 시간이라면 꼭짓점 i에서 꼭짓점 j로 가는 변이 있는지를 상수 시간에 알 수 있다. 꼭짓점의 개수를 n이라고 할 때 인접행렬을 만드는 데  시간을 쓰게 되므로, 인접행렬을 이용한 그래프 알고리즘의 시간 복잡도는 이보다 더 좋을 수 없다. 따라서 변이 희소한 경우에는 인접 리스트 표현 방식이 유리하다.

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다음과 같은 유한 그래프를 생각하자.

 

이 그래프의 인접 행렬은 다음과 같은 대칭 행렬이다.

 

이 그래프의 스펙트럼은 다음과 같다.

 

이들의 합은 0이며, 그 최댓값 2.54는 그래프의 최대 차수 3보다 작다.

무변 그래프편집

무변 그래프  의 인접 행렬은 영행렬이다.

 

그 스펙트럼의 유일한 원소는 0이며, 그 중복수는  이다.

완전 그래프편집

완전 그래프  의 인접 행렬은 다음과 같은 꼴이다.

 

여기서  는 모든 성분이 1인 행렬이다.

그 스펙트럼은 다음과 같다.

 

완전 이분 그래프편집

완전 이분 그래프  의 인접 행렬은 다음과 같은 꼴이다.

 

여기서  는 모든 성분이 1인 행렬이다.

완전 이분 그래프  의 스펙트럼은 다음과 같다.

 

고윳값  의 고유 벡터는

 

이다. (여기서  는 완전 이분 그래프의 꼭짓점 집합의 분할이다.)

순환 그래프편집

순환 그래프  의 인접 행렬은 다음과 같다.

 

(여기서  으로 여긴다. 즉,  이다.)

그 스펙트럼은 다음과 같다.

 

특히,  가 아닌 모든 고윳값들의 중복수는 2이다. ( 의 중복수는 1이다.)

경로 그래프편집

 개의 꼭짓점을 갖는 경로 그래프  의 인접 행렬은 다음과 같다.

 

그 스펙트럼은 다응과 같다.

 

특히, 만약  가 스펙트럼에 속한다면  도 스펙트럼에 속한다. 모든 고윳값의 중복수는 1이다.

딘킨 도표편집

ADE형의 단순 리 대수  딘킨 도표그래프를 이룬다. 이 그래프의 스펙트럼은 다음과 같은 꼴이다.

 

여기서

  •   의 계수( 의 최대 아벨 부분 리 대수의 차원 = 딘킨 도표의 꼭짓점의 수)이다.
  •   콕서터 수이다.
  •   의 딘킨 도표의 각 꼭짓점에 대응되는 차수들이다. 예를 들어, 리 대수  의 경우  이다.

외부 링크편집