다음이 주어졌다고 하자.
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
실수체 또는 복소수체 가운데 하나)
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
위상 벡터 공간
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
조밀 부분 벡터 공간
dom
A
{\displaystyle \operatorname {dom} A}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
선형 변환
A
:
dom
A
→
E
∗
{\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to E^{*}}
만약
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
대칭 작용소 라고 한다.
⟨
A
x
|
y
⟩
=
⟨
A
y
|
x
⟩
¯
∀
x
,
y
∈
dom
A
{\displaystyle \langle Ax|y\rangle ={\overline {\langle Ay|x\rangle }}\qquad \forall x,y\in \operatorname {dom} A}
여기서
E
∗
{\displaystyle E^{*}}
E
{\displaystyle E}
연속 쌍대 공간 이다.
a
¯
:
K
→
K
{\displaystyle {\bar {\color {White}a}}\colon \mathbb {K} \to \mathbb {K} }
K
=
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }
복소켤레 이며,
K
=
R
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }
항등 함수 이다.
⟨
|
⟩
{\displaystyle \langle |\rangle }
E
{\displaystyle E}
E
∗
{\displaystyle E^{*}}
힐베르트 공간의 경우
편집
H
{\displaystyle H}
힐베르트 공간 이라고 하자. 리스 표현 정리 에 따라
H
≅
H
∗
{\displaystyle H\cong H^{*}}
동치 이다.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
힐베르트 공간
(
H
,
⟨
⋅
|
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle \cdot |\cdot \rangle )}
조밀 부분 벡터 공간
dom
A
⊆
H
{\displaystyle \operatorname {dom} A\subseteq H}
선형 변환
A
:
dom
A
→
H
{\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H}
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.[1] :58–59
A
{\displaystyle A}
모든
u
,
v
∈
dom
A
{\displaystyle u,v\in \operatorname {dom} A}
⟨
u
|
A
|
v
⟩
=
⟨
A
u
|
v
⟩
{\displaystyle \langle u|A|v\rangle =\langle Au|v\rangle }
dom
A
⊂
dom
A
∗
{\displaystyle \operatorname {dom} A\subset \operatorname {dom} A^{*}}
u
∈
dom
A
{\displaystyle u\in \operatorname {dom} A}
A
u
=
A
∗
u
{\displaystyle Au=A^{*}u}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
에르미트 수반 이다.힐베르트 공간 위의 대칭 작용소의 경우 항상
dom
A
⊂
dom
A
∗
{\displaystyle \operatorname {dom} A\subset \operatorname {dom} A^{*}}
dom
A
∗
{\displaystyle \operatorname {dom} A^{*}}
조밀 집합 이다.
대칭 작용소
A
{\displaystyle A}
dom
A
=
dom
A
∗
{\displaystyle \operatorname {dom} A=\operatorname {dom} A^{*}}
자기 수반 작용소
함의 관계
편집
힐베르트 공간
H
{\displaystyle H}
D
{\displaystyle D}
D
→
H
{\displaystyle D\to H}
여기서 둘째 줄(유계 작용소)의 경우
D
=
H
{\displaystyle D=H}
헬링거-퇴플리츠 정리 (영어 : Hellinger–Toeplitz theorem )에 따르면, 정의역이 힐베르트 공간 전체인 대칭 작용소는 유계 작용소 이다.[1] :67
유한 차원 힐베르트 공간
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
자기 수반 작용소 이다.
A
{\displaystyle A}
에르미트 행렬 이다.결점 지표
편집
복소수 힐베르트 공간
H
{\displaystyle H}
A
:
dom
A
→
H
{\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H}
를 생각하자. 즉, 부분 공간
dom
A
⊆
dom
A
∗
⊆
H
{\displaystyle \operatorname {dom} A\subseteq \operatorname {dom} A^{*}\subseteq H}
이 존재한다. 이제 다음과 같은 두 부분 공간을 정의하자.
N
±
=
im
(
A
±
i
)
⊥
=
{
y
∈
H
:
∀
x
∈
dom
A
:
⟨
y
|
A
|
x
⟩
=
−
i
⟨
y
|
x
⟩
}
{\displaystyle N_{\pm }=\operatorname {im} (A\pm \mathrm {i} )^{\perp }=\left\{y\in H\colon \forall x\in \operatorname {dom} A\colon \langle y|A|x\rangle =-\mathrm {i} \langle y|x\rangle \right\}}
이들은 직교 여공간 이므로 닫힌집합 이며, 특히 힐베르트 공간 을 이룬다. 그 차원
dim
N
±
{\displaystyle \dim N_{\pm }}
을
A
{\displaystyle A}
결점 지표 (缺點指標, 영어 : deficiency index )라고 한다.
폰 노이만 공식 (영어 : von Neumann formula )에 따르면, 다음이 성립한다.
N
±
=
ker
(
A
∗
∓
i
)
{\displaystyle N_{\pm }=\ker(A^{*}\mp \mathrm {i} )}
대칭 확장
편집
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
H
{\displaystyle H}
A
:
dom
A
→
H
{\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H}
대칭 확장 (對稱擴張, 영어 : symmetric extension )은 다음을 만족시키는 작용소
A
~
:
dom
A
~
→
H
{\displaystyle {\tilde {A}}\colon \operatorname {dom} {\tilde {A}}\to H}
A
⊆
A
~
{\displaystyle A\subseteq {\tilde {A}}}
dom
A
⊆
dom
A
~
{\displaystyle \operatorname {dom} A\subseteq \operatorname {dom} {\tilde {A}}}
∀
v
∈
dom
A
:
A
v
=
A
~
v
{\displaystyle \forall v\in \operatorname {dom} A\colon Av={\tilde {A}}v}
즉, 이는
graph
A
⊆
graph
A
~
⊆
H
⊕
H
{\displaystyle \operatorname {graph} A\subseteq \operatorname {graph} {\tilde {A}}\subseteq H\oplus H}
인 조건과 같다.
대칭 확장 관계를 통해,
H
{\displaystyle H}
집합 은 부분 순서 집합 을 이룬다. 대칭 작용소의 대칭 확장은 일반적으로 유일하지 않으며, 존재하지 않을 수도 있다.
K
=
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }
A
{\displaystyle A}
유니터리 작용소 와 일대일 대응 한다.[1] :81–84
U
:
N
+
→
N
−
{\displaystyle U\colon N_{+}\to N_{-}}
특히,
A
{\displaystyle A}
필요 충분 조건 은 두 결점 지표가 같은 것이다.
dim
N
+
=
dim
N
−
{\displaystyle \dim N_{+}=\dim N_{-}}
또한,
A
{\displaystyle A}
필요 충분 조건 은 두 결점 지표가 모두 0인 것이다.
0
=
dim
N
+
=
dim
N
−
{\displaystyle 0=\dim N_{+}=\dim N_{-}}
다음을 생각하자.
H
=
L
2
(
[
0
,
1
]
;
C
)
{\displaystyle H=\operatorname {L} ^{2}([0,1];\mathbb {C} )}
dom
A
=
{
f
∈
C
1
(
[
0
,
1
]
,
C
)
:
f
(
0
)
=
f
(
1
)
=
0
}
⊊
H
{\displaystyle \operatorname {dom} A=\{f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {C} )\colon f(0)=f(1)=0\}\subsetneq H}
A
:
dom
A
→
H
{\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H}
A
:
f
↦
−
i
d
d
x
{\displaystyle A\colon f\mapsto -\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}
그렇다면,
A
{\displaystyle A}
N
±
{\displaystyle N_{\pm }}
미분 방정식 의 해의 공간이다.
∓
d
u
d
x
=
d
u
d
x
{\displaystyle \mp {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}}
이는 각각 1차원이며, 구체적으로
N
±
=
Span
{
x
↦
exp
(
∓
x
)
}
{\displaystyle N_{\pm }=\operatorname {Span} \{x\mapsto \exp(\mp x)\}}
이다. 따라서
A
{\displaystyle A}
U
(
1
)
{\displaystyle \operatorname {U} (1)}
구체적으로,
dom
A
~
=
{
f
∈
C
1
(
[
0
,
1
]
,
C
)
:
f
(
0
)
=
f
(
1
)
}
⊊
H
{\displaystyle \operatorname {dom} {\tilde {A}}=\{f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {C} )\colon f(0)=f(1)\}\subsetneq H}
A
~
:
dom
A
→
H
{\displaystyle {\tilde {A}}\colon \operatorname {dom} A\to H}
A
~
:
f
↦
−
i
d
d
x
{\displaystyle {\tilde {A}}\colon f\mapsto -\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}
을 생각하자. 이는
A
{\displaystyle A}
N
+
(
A
~
)
=
N
−
(
A
~
)
=
0
{\displaystyle N_{+}({\tilde {A}})=N_{-}({\tilde {A}})=0}
참고 문헌
편집
곽도영 (2010년 2월 5일). 《공업수학 탐구》. 교우사. ISBN 978-89-8172-378-1 Berezin, F. A.; M. A. Shubin (1991). 《The Schrödinger equation》 (영어). Klüwer. Hall, B. C. (2013). 《Quantum theory for mathematicians》 (영어). New York: Springer. Reed, M.; Simon, Barry (1972). 《Methods of Mathematical Physics, vol. 2》 (영어). Academic Press. Bonneau, Guy; Jacques Faraut, Galliano Valent (2001). “Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics”. 《American Journal of Physics》 (영어) 69 : 322–331. arXiv :quant-ph/0103153 . Bibcode :2001AmJPh..69..322B . doi :10.1119/1.1328351 . 외부 링크
편집
![{\displaystyle H=\operatorname {L} ^{2}([0,1];\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b0484b3f3d37a012eea8225c00c594d2541cd5f)
![{\displaystyle \operatorname {dom} A=\{f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {C} )\colon f(0)=f(1)=0\}\subsetneq H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/748428b7ac2c309c87c51d5e09991ebb95166dfe)
![{\displaystyle \operatorname {dom} {\tilde {A}}=\{f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {C} )\colon f(0)=f(1)\}\subsetneq H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60c8995e027829f6529d29af9215f6281ea5705)
