추상대수학에서 작용소군(作用素群, 영어: operator group)은 어떤 모노이드의 작용을 갖춘 이다. 가군의 공통적인 일반화이다.

정의

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작용소군  는 다음과 같은 데이터로 구성된다.[1]:151

  •  이다.
  •  모노이드이다. 이 모노이드의 원소를 작용소(영어: operator)라고 한다.
  •  모노이드준동형이다.

일부 저자들은  반군(즉, 단위원을 가지지 않을 수 있음)일 경우를 허용하기도 한다. 이 경우, 자명하게 항등원을 추가할 수 있으므로 사실상 같은 개념을 얻는다.

작용소 모노이드가  인 작용소군을  -작용소군(영어:  -group)이라고 한다. 주어진  에 대하여,  -작용소군들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.  -작용소군에서,  의 구조를 보존시키는 부분군을 허용 가능 부분군(영어: admissible subgroup)이라고 한다.[1]:151

작용소군의 대표적인 예로는 다음이 있다.

작용소 집합   작용 허용 가능 부분군
  한원소 집합   항등 함수 (임의의) 부분군
      정규 부분군
  자기 동형군   자기 사상의 작용 특성 부분군(영어: characteristic subgroup)
  자기 준동형 모노이드   자기 사상의 작용 완전 불변 부분군(영어: fully invariant subgroup)
  위의 왼쪽 가군   환의 곱셈 모노이드   가군 작용 부분 가군

응용

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조르당-횔더 정리는 적어도 하나의 합성열을 갖는 작용소군에 대하여 성립한다. 이를 통해, 군에 대한 조르당-횔더 정리와 가군에 대한 조르당-횔더 정리를 공통적으로 일반화할 수 있다.

참고 문헌

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  1. Rotman, Joseph (1994). 《An introduction to the theory of groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 148 4판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 978-1-4612-8686-8. ISSN 0072-5285. Zbl 0810.20001. 

외부 링크

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