정칙렬

가환대수학에서 정칙렬(正則列, 영어: regular sequence 레귤러 시퀀스^[*])은 어떤 가군의 크기를 하나씩 ‘최대한’ 줄이는, 가환환 원소들의 열이다.^{:123–152, Chapter 6} 여기서 가군의 ‘크기를 줄인다’는 것은 가환환의 원소로 생성되는 부분 가군에 대한 몫가군을 취하는 것이다. 구체적으로, 정칙렬에서 임의의 성분 $a_{i}$는 그 이전 성분들($a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{i-1}$)로 생성되는 부분 가군 $(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{i-1})M$에 대한 몫가군 $M/(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{i-1})M$의 영인자가 아니다.

대수기하학적으로, 정칙렬은 여차원을 양의 정수 만큼씩 줄이는 ‘잘라내기’들로서 정의되는 부분 대수다양체에 해당한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $R$
• $R$의 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$
• $R$의 가군 $M$. 또한, ${\mathfrak {a}}M\subsetneq M$이라고 하자.

유한 원소열 $r_{1},\dots ,r_{n}\in R$가 다음 조건을 만족시키면, $M$의 정칙렬이라고 한다.^:419

• 임의의 $i=1,2,\dots ,n$ 및 $m\in M$에 대하여، 만약 $r_{i}m\in (r_{1},\dotsc ,r_{i-1})M$이라면, $m\in (r_{1},\dotsc ,r_{i-1})M$이다. (즉, $r_{i}$는 $M/(r_{1},\dots ,r_{i-1})M$의 영인자가 아니다.)

일부 문헌에서는 정칙렬의 정의에 $(r_{1},\dotsc ,r_{n})M\neq M$이라는 조건을 추가한다. 이는 가군의 깊이의 개념을 정의하는 데 더 편리하지만, 이 조건은 국소화에 대하여 보존되지 못한다.

기하학적으로, 정칙렬의 원소는 가군의 소멸자 $\operatorname {Ann} _{R}M$ 속의 일련의 부분 스킴들

$\operatorname {Spec} {\frac {R}{\operatorname {Ann} _{R}M}}\leftarrow \operatorname {Spec} {\frac {R}{\operatorname {Ann} _{R}(M/r_{1}M)}}\leftarrow \operatorname {Spec} {\frac {R}{\operatorname {Ann} _{R}(M/(r_{1},r_{2})M)}}\leftarrow \dotsb$

에 대응된다. 특히, 만약 $M=R$인 경우 이는 ‘방정식’을 하나씩 추가하여 얻어지는 부분 스킴들의 열

$\operatorname {Spec} R\leftarrow \operatorname {Spec} {\frac {R}{(r_{1})}}\leftarrow \operatorname {Spec} {\frac {R}{(r_{1},r_{2})}}\leftarrow \dotsb$

에 해당한다.

성질

$R$-가군 $M$ 속의 정칙렬 $r_{1},r_{2},\dotsc ,r_{d}$이 주어졌을 때, 임의의 가역원 $u_{1},u_{2},\dots ,u_{d}\in R^{\times }$에 대하여 $u_{1}r_{1},\dotsc ,u_{d}r_{d}$ 역시 정칙렬이다.

국소화

$R$-가군 $M$ 속의 정칙렬 $r_{1},\dotsc ,r_{d}$이 주어졌으며, $R$의 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 국소화 $S^{-1}R$로 가는 표준 환 준동형 $\phi \colon R\to S^{-1}R$에 대하여, 원소열 $\phi (r_{1}),\dotsc ,\phi (r_{d})$ 역시 $S^{-1}M$의 정칙렬이다.

증명:

가군의 국소화는 완전 함자이며, 따라서 단사 가군 준동형은 단사 가군 준동형으로 대응된다. $\phi (r_{1}),\dotsc ,\phi (r_{d})$가 정칙렬이라는 것은

$(\phi (r_{i})\cdot )\colon {\frac {S^{-1}M}{(\phi (r_{1}),\dotsc ,\phi (r_{i-1}))S^{-1}M}}\to {\frac {S^{-1}M}{(\phi (r_{1}),\dotsc ,\phi (r_{i-1}))S^{-1}M}}$

가 단사 함수라는 것인데, 이는 단사 함수

$r_{i}\colon {\frac {M}{(r_{1},\dotsc ,r_{i-1})M}}\to {\frac {M}{(r_{1},\dotsc ,r_{i-1})M}}$

의 상이므로 단사 함수이다.

(※만약 정칙렬의 정의에 $(r_{1},\dotsc ,r_{d})M\neq M$이라는 조건을 추가한다면, 이 조건은 국소화에 의하여 일반적으로 보존되지 못한다.)

순열

정칙렬의 순열은 일반적으로 정칙렬이 아니다.

다만, 뇌터 가환환 $R$의 유한 생성 가군 $M$에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 정칙렬 $a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{d}$의 순열은 역시 정칙렬이다.^{:126, Theorem 16.3}

• 아이디얼 $(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{d})$은 $R$의 근기 $\operatorname {rad} R$의 부분 집합이다.

깊이

 이 부분의 본문은 가군의 깊이입니다.

 이 부분의 본문은 코언-매콜리 환입니다.

뇌터 가환환 $R$의 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subsetneq R$ 및 유한 생성 가군 $M$이 주어졌을 때, ${\mathfrak {a}}$ 속에 포함된 $M$-정칙렬의 최대 길이를 $({\mathfrak {a}},M)$의 깊이라고 한다. 이 개념은 호몰로지 대수학에서 중요한 역할을 한다.

국소 가환환에서, 극대 아이디얼에 포함된 정칙렬의 길이는 그 크룰 차원 이하이다. 이 상한을 포화시키는 (즉, 깊이와 차원이 일치하는) 국소 가환환을 코언-매콜리 국소환이라고 한다.

예

길이 1의 정칙렬은 단순히 가군의 영인자가 아닌 임의의 원소이다.

정칙렬이 아닌 정칙렬 순열

$\mathbb {C} [x,y,z]$를 스스로 위의 가군으로 간주하자. 이 경우,

$x,y(1-x),z(1-x)$

는 정칙렬이다. 그러나 그 순열인

$y(1-x),z(1-x),x$

는 정칙렬이 아니다.^{:127, §16} 구체적으로, $y(1-x)$는 $\mathbb {C} [x,y,z]$의 영인자가 아니지만, $z(1-x)$는 $\mathbb {C} [x,y,z]/(y(1-x))$의 영인자이다. 예를 들어

$z(1-x)\cdot y\in y(1-x)\mathbb {C} [x,y,z]$

$y\not \in y(1-x)\mathbb {C} [x,y,z]$

이다.

기하학적으로, $\mathbb {C} [x,y,z]$는 3차원 아핀 공간이며, 이 경우

$\mathbb {C} [x,y,z]/(x)$

는 $x=0$으로 정의되는 $yz$ 평면이다. 그 속에서

$\mathbb {C} [x,y,z]/(x,y(1-x))\cong \mathbb {C} [x,y,z]/(x,y)$

는 $z$축이며,

$\mathbb {C} [x,y,z]/(x,y(1-x),z(1-x))\cong \mathbb {C} [x,y,z]/(x,y,z)$

는 그 속의 원점이다.

반면,

$\mathbb {C} [x,y,z]/(y(1-x))$

는 $y=0$ 평면과 $x=1$ 평면의 합집합이다. 그 속에서

$\mathbb {C} [x,y,z]/(y(1-x),z(1-x))$

는

$y=z=0$ 축과 $x=1$ 평면의 합집합이므로, 이는 양의 여차원을 갖지 못한다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Ring regular sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Regular sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “§10.67 Regular sequences”. 《The Stacks Project》 (영어).