가환대수학에서 코쥘 복합체(Koszul複合體, 영어: Koszul complex)는 가환환의 가군 및 가군의 특별한 원소로부터 정의되는 미분 등급 대수이다. 이를 통하여 가군의 코쥘 코호몰로지(영어: Koszul cohomology)를 정의할 수 있다.

정의

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다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • (단위원을 갖는) 가환환  
  •   위의 가군  
  •  -가군 준동형  

그렇다면 외대수

 

쐐기곱을 통해 결합 등급 가환  -대수가 된다. 이 위에 다음과 같은 경계 사상을 정의하자.

 
 

여기서  쐐기곱에서  만을 제외한다는 뜻이다.  이므로,  사슬 복합체이자 미분 등급 대수를 이룬다. 이를 코쥘 복합체라고 한다.

 -가군   및 사상  이 주어졌을 때,  코쥘 호몰로지는 그 코쥘 복합체의 호몰로지다.

 

마찬가지로,  코쥘 코호몰로지는 그 쌍대 복합체

 

의 코호몰로지다.

가환환 계수

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 이며  이라고 하자 ( ). 그렇다면, 코쥘 복합체는

 

이 된다. 즉, 이는 길이가 2인 사슬 복합체이며, 그 호몰로지는

 
 

이다 ( 소멸자).

자유 가군 계수

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마찬가지로,  자유 가군  이며

 

이라고 하자 ( ). 그렇다면, 코쥘 복합체는

 

가 되며, 복합체의 길이는  이 된다.

성질

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대수다양체스킴 위의 연접층층 코호몰로지는 코쥘 코호몰로지의 귀납적 극한으로 계산할 수 있다.

역사

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장루이 코쥘이 1950년에 리 대수 코호몰로지를 정의하기 위해 도입하였다.[1]

참고 문헌

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각주

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  1. Koszul, Jean-Louis (1950). “Homologie et cohomologie des algèbres de Lie”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 78: 65–127. ISSN 0037-9484. MR 36511. Zbl 0039.02901. 

외부 링크

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