코언-매콜리 환

가환대수학과 대수기하학에서 코언-매콜리 환(Cohen-Macaulay環, 영어: Cohen–Macaulay ring)은 국소적으로 어느 곳에서나 차원이 동일한 아핀 스킴의 개념을 형식화한 개념이다.

정의

코언-매콜리 가군과 코언-매콜리 국소환

뇌터 국소 가환환 $(R,{\mathfrak {m}})$ 위의 유한 생성 가군 $M$에 대하여, 항상 다음이 성립한다.

$\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}M\leq \dim M$이다.

여기서 $\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}$는 깊이이며, $\dim$은 크룰 차원이다. 만약 이 부등식이 포화된다면, $M$을 코언-매콜리 가군(영어: Cohen–Macaulay module)이라고 한다.

임의의 뇌터 국소 가환환 $(R,{\mathfrak {m}})$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 국소 가환환을 코언-매콜리 국소환(영어: Cohen–Macaulay local ring)이라고 한다.

• 스스로 위의 가군으로서 코언-매콜리 가군인 뇌터 국소 가환환이다. 즉, $\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}R\leq \operatorname {ht} {\mathfrak {m}}=\dim R$이다.
• 모든 매개계가 정칙열이다.^{:Remark 2.2}
• 적어도 하나 이상의 매개계가 정칙열이다.^{:Remark 2.2}

여기서 $\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}$는 깊이이며, $\operatorname {ht}$는 아이디얼의 높이이며, $\dim$은 크룰 차원이다. 만약 이 부등식이 포화된다면, $R$를 코언-매콜리 국소환이라고 한다.

코언-매콜리 환과 코언-매콜리 스킴

뇌터 가환환 $R$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 코언-매콜리 환이라고 한다.^{:452, Proposition 18.8}

• 모든 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$에 대하여, 국소화 $R_{\mathfrak {m}}$은 코언-매콜리 국소환이다.^{:452, Proposition 18.8}
• 모든 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$에 대하여, 국소화 $R_{\mathfrak {p}}$는 코언-매콜리 국소환이다.
• 임의의 아이디얼 ${\mathfrak {i}}$ 및 $R/{\mathfrak {i}}$의 연관 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} (R/{\mathfrak {i}})$에 대하여, ${\mathfrak {i}}$의 여차원(높이)과 ${\mathfrak {p}}$의 여차원이 같다. 즉, $\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {i}}=\operatorname {ht} _{R/{\mathfrak {i}}}{\mathfrak {p}}$이다.

마지막 조건은 차원이 국소적으로 일정하다는 조건의 매우 강한 형태이다. 즉, 아이디얼 ${\mathfrak {i}}$는 $\operatorname {Spec} R$의 닫힌 부분 스킴 $\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {i}})$을 정의한다. 이는 으뜸 분해로 인하여 기약 성분들로 분해되며, 각 성분은 연관 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$에 대응한다. 따라서, 위 조건은 임의의 닫힌 부분 스킴에 대하여, 그 기약 성분들의 차원이 모두 같음을 뜻한다.

마찬가지로, 국소 뇌터 스킴 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 뇌터 스킴을 코언-매콜리 스킴이라고 한다.

• 임의의 점 $x\in X$에 대하여, 구조층의 줄기 ${\mathcal {O}}_{X,x}$가 코언-매콜리 국소환이다.
• 임의의 점 $x\in X$에 대하여, 구조층의 줄기 ${\mathcal {O}}_{X,x}$가 코언-매콜리 국소환이다.

성질

함의 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

정칙환 ⊊ 완비교차환(영어: complete intersection ring) ⊊ 고런스틴 환 ⊊ 코언-매콜리 환

특히, 모든 정칙 스킴은 코언-매콜리 스킴이다.

코언-매콜리 환이 될 충분 조건으로는 다음이 있다.

• 모든 정칙환은 코언-매콜리 환이다. 특히, 모든 체나, 함수체 $K[[x]]$ 등은 정칙 국소환이므로 코언-매콜리 환이다.
• 모든 아르틴 환은 코언-매콜리 환이다.
• 모든 크룰 차원이 1인 뇌터 축소환은 코언-매콜리 환이다.
• 모든 고런스틴 환은 코언-매콜리 환이다.

연산에 대한 닫힘

뇌터 가환환 $R$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $R$는 코언-매콜리 환이다.
• 다항식환 $R[x]$는 코언-매콜리 환이다.^{:452, Proposition 18.9}

뇌터 국소환 $(R,{\mathfrak {m}})$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^{:452, Proposition 18.8:136, Theorem 17.5}

• $R$는 코언-매콜리 국소환이다.
• $R$에 대응하는 완비 국소환은 코언-매콜리 국소환이다.

코언-매콜리 조건의 필요 충분 조건

다음이 주어졌다고 하자.

• 정칙 국소환 $K$
• 국소 가환환 $A$
• 단사 환 준동형 $K\to A$. 이에 따라서, $A$가 $K$-유한 생성 가군이라고 하자.

그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $A$가 코언-매콜리 국소환이다.
• $A$가 $K$-평탄 가군이다.
• $A$가 $K$-자유 가군이다.

이 사실을 히로나카 기적적 평탄성(영어: Hironaka’s miracle flatness)이라고 한다.

예

고런스틴 환이 아닌 코언-매콜리 환

체 $K$에 대하여, 다항식환 $K[t]$의 부분환 $K[t^{2},t^{3}]$를 생각하자. 이는 코언-매콜리 환이지만 고런스틴 환이 아니다. 구체적으로, 극대 아이디얼 $(t^{2},t^{3})$에서의 국소화는 고런스틴 국소환이 아닌 코언-매콜리 국소환이다.

코언-매콜리 환이 아닌 환

체 $K$에 대하여 가환환

$R=K[x,y]/(x^{2},xy)$

를 생각하자.^{:896, Example B} 기하학적으로, $(x^{2},xy)=(x)(x,y)$이므로, 이는 ‘두꺼운’ 원점 $x=0,y=0$을 갖는 직선 $x=0$이다. 원점에서 0차원과 1차원의 공존으로 인해 이는 코언-매콜리 환이 될 수 없다. (반면, ‘두꺼운 점’만이 존재하는 경우인 $K[x,y]/(x^{2})$는 코언-매콜리 환이다.^{:896, Example B})

구체적으로, 원점에 해당하는 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}=(x,y)$에서의 국소 가환환 $R_{\mathfrak {m}}$을 취하자. 이 경우, ${\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}$에 속하는 임의의 원소 $a\in {\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}$에 대하여, $ax=0$이므로, $R_{\mathfrak {m}}$의 극대 아이디얼에 포함되는 모든 원소는 영인자이며, 특히 극대 아이디얼에 포함되는 모든 정칙렬의 길이는 0이다. 따라서 $R$의, ${\mathfrak {m}}$에서의 깊이는 0이다. 그러나

$(x,y)R_{\mathfrak {m}}\subsetneq (x)R_{\mathfrak {m}}$

이므로 $R_{\mathfrak {m}}$의 크룰 차원(${\mathfrak {m}}$의 높이)은 1이다.

따라서 $R_{\mathfrak {m}}$은 코언-매콜리 국소환이 아니며, $R$는 코언-매콜리 환이 아니다.

차원이 일정하지만 코언-매콜리 환이 아닌 환

체 $K$에 대하여,

$R={\frac {K[x,y,z,w]}{(x,y)(z,w)}}$

를 생각하자. 기하학적으로, 이는 4차원 아핀 공간 속의, $x=y=0$ 평면과 $z=w=0$ 평면의 합집합이다. 이 환은 어디서나 같은 차원(즉, 2차원)을 갖는다 (즉, 극대 아이디얼의 국소 가환환의 크룰 차원이 항상 2이다). 그러나 이는 (원점에서) 코언-매콜리 환이 아니다.^{:455, Figure 18.2}

역사

프랜시스 소어비 매콜리(영어: Francis Sowerby Macaulay)는 1916년에 다항식환이 (현대적인 용어로) 코언-매콜리 환임을 증명하였고, 어빈 솔 코언은 1946년에 형식적 멱급수환도 마찬가지 성질을 가짐을 보였다. 이후 매콜리와 코언의 이름을 따서 이름붙여졌다.

코언-매콜리 환의 개념에 대하여 멜빈 혹스터(영어: Melvin Hochster)는 다음과 같이 적었다.

“	삶을 살기에 진짜로 좋은 곳은 뇌터 환 $R$ 중에 모든 국소환 속의 매개계가 $R$-정칙렬인 것이다. 이러한 환은 코언-매콜리 환이라고 한다 (줄여서 CM환). Life is really worth living in a Noetherian ring $R$ when all the local rings have the property that every s.o.p. [system of parameters] is an $R$-sequence. Such a ring is called Cohen-Macaulay (C-M for short).	”
	—

외부 링크

• “Cohen-Macaulay ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cohen-Macaulay ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Cohen-Macaulay rings”. 《The Stacks Project》 (영어). 
• “Cohen-Macaulay modules”. 《The Stacks Project》 (영어). 
• “Why Cohen-Macaulay rings have become important in commutative algebra?” (영어). Math Overflow. 
• “Geometric meaning of Cohen-Macaulay schemes” (영어). Math Overflow. 
• “How to think about CM rings?” (영어). Math Overflow. 
• “Why Cohen-Macaulay rings have become important in commutative algebra?”. Math Overflow.