코언-매콜리 환

가환대수학과 대수기하학에서 코언-매콜리 환(Cohen-Macaulay環, 영어: Cohen–Macaulay ring)은 국소적으로 어느 곳에서나 차원이 동일한 아핀 스킴의 개념을 형식화한 개념이다.^[1]

정의

코언-매콜리 가군과 코언-매콜리 국소환

뇌터 국소 가환환 $(R,{\mathfrak {m}})$ 위의 유한 생성 가군 $M$ 에 대하여, 항상 다음이 성립한다.

\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}M\leq \dim M

이다.

여기서 $\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}$ 는 깊이이며, $\dim$ 은 크룰 차원이다. 만약 이 부등식이 포화된다면, $M$ 을 코언-매콜리 가군(영어: Cohen–Macaulay module)이라고 한다.

임의의 뇌터 국소 가환환 $(R,{\mathfrak {m}})$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 국소 가환환을 코언-매콜리 국소환(영어: Cohen–Macaulay local ring)이라고 한다.

스스로 위의 가군으로서 코언-매콜리 가군인 뇌터 국소 가환환이다. 즉, $\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}R\leq \operatorname {ht} {\mathfrak {m}}=\dim R$ 이다.
모든 매개계가 정칙열이다.^[2]^{:Remark 2.2}
적어도 하나 이상의 매개계가 정칙열이다.^[2]^{:Remark 2.2}

여기서 $\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}$ 는 깊이이며, $\operatorname {ht}$ 는 아이디얼의 높이이며, $\dim$ 은 크룰 차원이다. 만약 이 부등식이 포화된다면, $R$ 를 코언-매콜리 국소환이라고 한다.

코언-매콜리 환과 코언-매콜리 스킴

뇌터 가환환 $R$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 코언-매콜리 환이라고 한다.^[3]^{:452, Proposition 18.8}

모든 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$ 에 대하여, 국소화 $R_{\mathfrak {m}}$ 은 코언-매콜리 국소환이다.^[3]^{:452, Proposition 18.8}
모든 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$ 에 대하여, 국소화 $R_{\mathfrak {p}}$ 는 코언-매콜리 국소환이다.
임의의 아이디얼 ${\mathfrak {i}}$ 및 $R/{\mathfrak {i}}$ 의 연관 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} (R/{\mathfrak {i}})$ 에 대하여, ${\mathfrak {i}}$ 의 여차원(높이)과 ${\mathfrak {p}}$ 의 여차원이 같다. 즉, $\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {i}}=\operatorname {ht} _{R/{\mathfrak {i}}}{\mathfrak {p}}$ 이다.

마지막 조건은 차원이 국소적으로 일정하다는 조건의 매우 강한 형태이다. 즉, 아이디얼 ${\mathfrak {i}}$ 는 $\operatorname {Spec} R$ 의 닫힌 부분 스킴 $\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {i}})$ 을 정의한다. 이는 으뜸 분해로 인하여 기약 성분들로 분해되며, 각 성분은 연관 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$ 에 대응한다. 따라서, 위 조건은 임의의 닫힌 부분 스킴에 대하여, 그 기약 성분들의 차원이 모두 같음을 뜻한다.

마찬가지로, 국소 뇌터 스킴 $X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 뇌터 스킴을 코언-매콜리 스킴이라고 한다.

임의의 점 $x\in X$ 에 대하여, 구조층의 줄기 ${\mathcal {O}}_{X,x}$ 가 코언-매콜리 국소환이다.
임의의 점 $x\in X$ 에 대하여, 구조층의 줄기 ${\mathcal {O}}_{X,x}$ 가 코언-매콜리 국소환이다.

성질

함의 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

정칙환 ⊊ 완비교차환(영어: complete intersection ring) ⊊ 고런스틴 환 ⊊ 코언-매콜리 환

특히, 모든 정칙 스킴은 코언-매콜리 스킴이다.

코언-매콜리 환이 될 충분 조건으로는 다음이 있다.

모든 정칙환은 코언-매콜리 환이다. 특히, 모든 체나, 함수체 $K[[x]]$ 등은 정칙 국소환이므로 코언-매콜리 환이다.
모든 아르틴 환은 코언-매콜리 환이다.
모든 크룰 차원이 1인 뇌터 축소환은 코언-매콜리 환이다.
모든 고런스틴 환은 코언-매콜리 환이다.

연산에 대한 닫힘

뇌터 가환환 $R$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

$R$ 는 코언-매콜리 환이다.
다항식환 $R[x]$ 는 코언-매콜리 환이다.^[3]^{:452, Proposition 18.9}

뇌터 국소환 $(R,{\mathfrak {m}})$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^[3]^{:452, Proposition 18.8}^[4]^{:136, Theorem 17.5}

$R$ 는 코언-매콜리 국소환이다.
$R$ 에 대응하는 완비 국소환은 코언-매콜리 국소환이다.

코언-매콜리 조건의 필요 충분 조건

다음이 주어졌다고 하자.

정칙 국소환 $K$
국소 가환환 $A$
단사 환 준동형 $K\to A$ . 이에 따라서, $A$ 가 $K$ -유한 생성 가군이라고 하자.

그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$A$ 가 코언-매콜리 국소환이다.
$A$ 가 $K$ -평탄 가군이다.
$A$ 가 $K$ -자유 가군이다.

이 사실을 히로나카 기적적 평탄성(영어: Hironaka’s miracle flatness)이라고 한다.

예

고런스틴 환이 아닌 코언-매콜리 환

체 $K$ 에 대하여, 다항식환 $K[t]$ 의 부분환 $K[t^{2},t^{3}]$ 를 생각하자. 이는 코언-매콜리 환이지만 고런스틴 환이 아니다. 구체적으로, 극대 아이디얼 $(t^{2},t^{3})$ 에서의 국소화는 고런스틴 국소환이 아닌 코언-매콜리 국소환이다.

코언-매콜리 환이 아닌 환

체 $K$ 에 대하여 가환환

R=K[x,y]/(x^{2},xy)

를 생각하자.^[5]^{:896, Example B} 기하학적으로, $(x^{2},xy)=(x)(x,y)$ 이므로, 이는 ‘두꺼운’ 원점 $x=0,y=0$ 을 갖는 직선 $x=0$ 이다. 원점에서 0차원과 1차원의 공존으로 인해 이는 코언-매콜리 환이 될 수 없다. (반면, ‘두꺼운 점’만이 존재하는 경우인 $K[x,y]/(x^{2})$ 는 코언-매콜리 환이다.^[5]^{:896, Example B})

구체적으로, 원점에 해당하는 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}=(x,y)$ 에서의 국소 가환환 $R_{\mathfrak {m}}$ 을 취하자. 이 경우, ${\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}$ 에 속하는 임의의 원소 $a\in {\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}$ 에 대하여, $ax=0$ 이므로, $R_{\mathfrak {m}}$ 의 극대 아이디얼에 포함되는 모든 원소는 영인자이며, 특히 극대 아이디얼에 포함되는 모든 정칙렬의 길이는 0이다. 따라서 $R$ 의, ${\mathfrak {m}}$ 에서의 깊이는 0이다. 그러나

(x,y)R_{\mathfrak {m}}\subsetneq (x)R_{\mathfrak {m}}

이므로 $R_{\mathfrak {m}}$ 의 크룰 차원( ${\mathfrak {m}}$ 의 높이)은 1이다.

따라서 $R_{\mathfrak {m}}$ 은 코언-매콜리 국소환이 아니며, $R$ 는 코언-매콜리 환이 아니다.

차원이 일정하지만 코언-매콜리 환이 아닌 환

체 $K$ 에 대하여,

R={\frac {K[x,y,z,w]}{(x,y)(z,w)}}

를 생각하자. 기하학적으로, 이는 4차원 아핀 공간 속의, $x=y=0$ 평면과 $z=w=0$ 평면의 합집합이다. 이 환은 어디서나 같은 차원(즉, 2차원)을 갖는다 (즉, 극대 아이디얼의 국소 가환환의 크룰 차원이 항상 2이다). 그러나 이는 (원점에서) 코언-매콜리 환이 아니다.^[3]^{:455, Figure 18.2}

역사

프랜시스 소어비 매콜리(영어: Francis Sowerby Macaulay)는 1916년에 다항식환이 (현대적인 용어로) 코언-매콜리 환임을 증명하였고,^[6] 어빈 솔 코언은 1946년에 형식적 멱급수환도 마찬가지 성질을 가짐을 보였다.^[7] 이후 매콜리와 코언의 이름을 따서 이름붙여졌다.

코언-매콜리 환의 개념에 대하여 멜빈 혹스터(영어: Melvin Hochster)는 다음과 같이 적었다.

“	삶을 살기에 진짜로 좋은 곳은 뇌터 환 $R$ 중에 모든 국소환 속의 매개계가 $R$ -정칙렬인 것이다. 이러한 환은 코언-매콜리 환이라고 한다 (줄여서 CM환). Life is really worth living in a Noetherian ring $R$ when all the local rings have the property that every s.o.p. [system of parameters] is an $R$ -sequence. Such a ring is called Cohen-Macaulay (C-M for short).	”
	— ^[5]

같이 보기

각주

↑ Höchster, Melvin (1980). 〈Cohen–Macaulay rings and modules〉 (PDF). 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Helsinki, Finland, vol. 1》 (영어). Academia Scientiarum Fennica. 291-298쪽. 2013년 9월 1일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 8월 9일에 확인함.
↑ ^가 ^나 Huneke, Craig (2002년 9월 16일). “Hyman Bass and ubiquity: Gorenstein rings” (영어). arXiv:math/0209199.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.
↑ Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 8. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.
↑ ^가 ^나 ^다 Hochster, Melvin (1978). “Some applications of the Frobenius in characteristic 0”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 84: 886–912. doi:10.1090/S0002-9904-1978-14531-5. MR 485848. Zbl 0421.14001.
↑ Macaulay, Francis Sowerby (1916). 《The algebraic theory of modular systems》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 1-4297-0441-1.
↑ Cohen, Irvin Sol (1946). “On the structure and ideal theory of complete local rings”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 59: 54–106. doi:10.1090/S0002-9947-1946-0016094-3. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990313. MR 0016094.

외부 링크

“Cohen-Macaulay ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Cohen-Macaulay ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Cohen-Macaulay rings”. 《The Stacks Project》 (영어).
“Cohen-Macaulay modules”. 《The Stacks Project》 (영어).
“Why Cohen-Macaulay rings have become important in commutative algebra?” (영어). Math Overflow.
“Geometric meaning of Cohen-Macaulay schemes” (영어). Math Overflow.
“How to think about CM rings?” (영어). Math Overflow.
“Why Cohen-Macaulay rings have become important in commutative algebra?”. Math Overflow.

[1] Höchster, Melvin (1980). 〈Cohen–Macaulay rings and modules〉 (PDF). 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Helsinki, Finland, vol. 1》 (영어). Academia Scientiarum Fennica. 291-298쪽. 2013년 9월 1일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 8월 9일에 확인함.

[Huneke-2] 가 ^나 Huneke, Craig (2002년 9월 16일). “Hyman Bass and ubiquity: Gorenstein rings” (영어). arXiv:math/0209199.

[Eisenbud-3] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.

[Matsumura-4] Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 8. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.

[Hochster-5] 가 ^나 ^다 Hochster, Melvin (1978). “Some applications of the Frobenius in characteristic 0”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 84: 886–912. doi:10.1090/S0002-9904-1978-14531-5. MR 485848. Zbl 0421.14001.

[6] Macaulay, Francis Sowerby (1916). 《The algebraic theory of modular systems》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 1-4297-0441-1.

[7] Cohen, Irvin Sol (1946). “On the structure and ideal theory of complete local rings”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 59: 54–106. doi:10.1090/S0002-9947-1946-0016094-3. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990313. MR 0016094.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]