5개 원소의 집합의 3원소 부분집합의 수는
(
5
3
)
=
10
{\displaystyle \textstyle {\binom {5}{3}}=10}
집합
S
{\displaystyle S}
자연수
k
{\displaystyle k}
S
{\displaystyle S}
(중복 없는)
k
{\displaystyle k}
(영어 :
k
{\displaystyle k}
S
{\displaystyle S}
k
{\displaystyle k}
부분집합 을 일컫는다. 만약
S
=
{
s
1
,
s
2
,
…
,
s
n
}
{\displaystyle S=\{s_{1},s_{2},\dots ,s_{n}\}}
가
n
{\displaystyle n}
유한 집합 이며,
0
≤
k
≤
n
{\displaystyle 0\leq k\leq n}
S
{\displaystyle S}
k
{\displaystyle k}
이항 계수
(
n
k
)
=
n
(
n
−
1
)
⋯
(
n
−
k
+
1
)
k
!
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}
와 같다. 이항 계수
(
n
k
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}
C
k
n
{\displaystyle C_{k}^{n}}
C
n
k
{\displaystyle C_{n}^{k}}
n
C
k
{\displaystyle _{n}C_{k}}
n
C
k
{\displaystyle ^{n}C_{k}}
C
n
,
k
{\displaystyle C_{n,k}}
C
(
n
,
k
)
{\displaystyle C(n,k)}
조합의 수의 공식은 조합론 의 방법으로 쉽게 유도할 수 있다.
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
(
n
k
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
k
−
1
{\displaystyle k-1}
n
{\displaystyle n}
(
n
k
)
k
!
{\displaystyle {\binom {n}{k}}k!}
가지가 있다. 다른 한편, 첫 번째 자리에 놓을 원소를
n
{\displaystyle n}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
n
(
n
−
1
)
⋯
(
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle n(n-1)\cdots (n-k+1)}
이다. 세는 법이 다를 때 얻는 수가 같아야 하므로 원하는 공식을 얻는다.
이항 계수 들의 파스칼의 삼각형 이항 계수 항등식
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}}
(
n
k
)
=
(
n
−
1
k
)
+
(
n
−
1
k
−
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}}
역시 조합론에서 직관적으로 해석할 수 있다. 전자는
k
{\displaystyle k}
n
−
k
{\displaystyle n-k}
일대일 대응 함을 나타낸다. 후자는
k
{\displaystyle k}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
k
{\displaystyle k}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
k
−
1
{\displaystyle k-1}
생성 함수
편집
이항 계수 는 다음과 같이 생성 함수 를 사용하여 정의할 수 있다.
(
1
+
x
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}
조합론의 관점에서, 다항식
(
1
+
x
)
n
{\displaystyle (1+x)^{n}}
n
{\displaystyle n}
1
+
x
{\displaystyle 1+x}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
k
{\displaystyle k}
(
n
k
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}
x
k
{\displaystyle x^{k}}
(
n
k
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}
5개의 원소의 집합의 크기 3의 중복집합의 수는
(
7
3
)
=
35
{\displaystyle \textstyle {\binom {7}{3}}=35}
집합
S
{\displaystyle S}
자연수
k
{\displaystyle k}
S
{\displaystyle S}
k
{\displaystyle k}
영어 :
k
{\displaystyle k}
S
{\displaystyle S}
k
{\displaystyle k}
중복집합 이다.
n
{\displaystyle n}
S
=
{
s
1
,
s
2
,
…
,
s
n
}
{\displaystyle S=\{s_{1},s_{2},\dots ,s_{n}\}}
k
{\displaystyle k}
(
n
+
k
−
1
k
)
=
(
n
+
k
−
1
n
−
1
)
=
(
−
1
)
k
(
−
n
k
)
{\displaystyle {\binom {n+k-1}{k}}={\binom {n+k-1}{n-1}}=(-1)^{k}{\binom {-n}{k}}}
이다. 중복조합의 수
(
n
+
k
−
1
k
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {n+k-1}{k}}}
(
(
n
k
)
)
{\displaystyle \left(\!\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\!\right)}
n
H
k
{\displaystyle _{n}H_{k}}
중복조합의 수가
(
n
+
k
−
1
k
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {n+k-1}{k}}}
{
a
1
,
⋯
,
a
k
}
{\displaystyle \{a_{1},\cdots ,a_{k}\}}
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{1,\dots ,n\}}
k
{\displaystyle k}
a
1
≤
a
2
≤
⋯
≤
a
k
{\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}}
라면,
{
a
1
,
a
2
+
1
,
…
,
a
k
+
k
−
1
}
{\displaystyle \{a_{1},a_{2}+1,\dots ,a_{k}+k-1\}}
는
{
1
,
…
,
n
+
k
−
1
}
{\displaystyle \{1,\dots ,n+k-1\}}
k
{\displaystyle k}
{
1
,
…
,
n
+
k
−
1
}
{\displaystyle \{1,\dots ,n+k-1\}}
k
{\displaystyle k}
{
b
1
,
…
,
b
k
}
{\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{k}\}}
b
1
<
b
2
<
⋯
<
b
k
{\displaystyle b_{1}<b_{2}<\cdots <b_{k}}
이 주어졌을 때,
{
b
1
,
b
2
−
1
,
…
,
b
k
−
k
+
1
}
{\displaystyle \{b_{1},b_{2}-1,\dots ,b_{k}-k+1\}}
는
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{1,\dots ,n\}}
k
{\displaystyle k}
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{1,\dots ,n\}}
k
{\displaystyle k}
{
1
,
…
,
n
+
k
−
1
}
{\displaystyle \{1,\dots ,n+k-1\}}
k
{\displaystyle k}
일대일 대응 을 정의한다. 따라서 이들의 수는 같다. 후자의 수가
(
n
+
k
−
1
k
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {n+k-1}{k}}}
이와 다른 기하학 적 증명이 존재한다.
(
n
+
k
−
1
k
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {n+k-1}{k}}}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
k
{\displaystyle k}
n
+
k
−
1
{\displaystyle n+k-1}
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{1,\dots ,n\}}
k
{\displaystyle k}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
i
{\displaystyle i}
i
{\displaystyle i}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
k
=
5
{\displaystyle k=5}
|
◯
◯
◯
|
◯
◯
{\displaystyle |{\bigcirc }{\bigcirc }{\bigcirc }|{\bigcirc }{\bigcirc }}
은 중복집합
{
2
,
2
,
3
,
3
,
3
}
{\displaystyle \{2,2,3,3,3\}}
◯
|
◯
◯
◯
|
◯
{\displaystyle {\bigcirc }|{\bigcirc }{\bigcirc }{\bigcirc }|{\bigcirc }}
은 중복집합
{
1
,
2
,
2
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,2,2,3\}}
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{1,\dots ,n\}}
k
{\displaystyle k}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
k
{\displaystyle k}
(
n
+
k
−
1
k
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {n+k-1}{k}}}
생성 함수
편집
중복조합의 수의 생성 함수 는 다음과 같다.
(
1
−
x
)
−
n
=
∑
k
=
0
∞
(
−
n
k
)
(
−
x
)
k
=
∑
k
=
0
∞
(
n
+
k
−
1
k
)
x
k
{\displaystyle (1-x)^{-n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-n}{k}}(-x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n+k-1}{k}}x^{k}}
좌변의
(
1
−
x
)
−
1
{\displaystyle (1-x)^{-1}}
멱급수 로 전개하면
1
+
x
+
x
2
+
⋯
{\displaystyle 1+x+x^{2}+\cdots }
n
{\displaystyle n}
x
m
i
{\displaystyle x^{m_{i}}}
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\dots ,n}
i
{\displaystyle i}
m
i
{\displaystyle m_{i}}
중복집합 을 선택하는 방법과 일대일 대응 한다.
n
{\displaystyle n}
x
k
{\displaystyle x^{k}}
m
1
+
⋯
+
m
n
=
k
{\displaystyle m_{1}+\cdots +m_{n}=k}
인 경우이다. 즉, 크기
k
{\displaystyle k}
x
k
{\displaystyle x^{k}}
(
n
+
k
−
1
k
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {n+k-1}{k}}}
다른 뜻에 대해서는 조합 (동음이의) 문서를 참고하십시오.
