환형 위에서 정의되는 조화 함수의 예

수학에서, 조화 함수(調和函數, harmonic function)는 라플라스 방정식의 해가 되는 함수다.

정의편집

유클리드 공간  열린집합   위의 2차 연속 미분 가능 함수

 

가 다음 편미분 방정식을 따른다면, 이를 조화 함수라고 한다.

 

여기서

 

라플라스 연산자이다.

성질편집

정칙성편집

조화 함수의 정의는 2차 미분 가능성만을 전제로 하지만, 사실 모든 조화 함수는 항상 매끄러운 함수이자 해석 함수임을 보일 수 있다.

최댓값 원리편집

열린집합  콤팩트 부분 집합  이 주어졌다고 하자. 그렇다면,  는 (콤팩트 공간 위의 연속 함수이므로) 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이 경우,  가 최댓값 또는 최솟값을 갖게 되는 점은 (상수 함수가 아니라면) 항상  경계  에 위치한다.

특히, 조화 함수는 상수 함수가 아니라면 최댓값이 아닌 극댓값을 가질 수 없다.

리우빌 정리에 따르면,   위에 정의된 조화 함수 가운데 유계 함수인 것은 상수 함수 밖에 없다.

등각 변환에 대한 불변편집

2차원에서, 조화 함수는 등각 변환에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 등각 변환

 

에 대하여, 만약  가 조화 함수라면   역시 조화 함수이다. (그러나 이는 다른 차원에서 일반적으로 성립하지 않는다.)

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임의의 차원에서, 상수 함수선형 함수는 항상 조화 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

  위에서,

 

는 조화 함수이다.

1차원편집

1차원의 공간 위의 조화 함수는 선형 함수

 

이다. 특히, 원   위의 조화 함수는 상수 함수 밖에 없다.

2차원편집

리만 곡면 위의 정칙 함수의 실수 성분(또는 허수 성분)은 조화 함수를 이룬다.

같이 보기편집

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