복시테인 준동형

호몰로지 대수학에서, 복시테인 준동형(Бокштейн準同型, 영어: Bockstein homomorphism)은 아벨 군짧은 완전열에 의하여 생성되는 코호몰로지 연산이다.

정의편집

공사슬 복합체짧은 완전열이 주어졌다고 하자.

 

그렇다면, 지그재그 보조정리를 사용해 다음과 같은 코호몰로지 긴 완전열을 만들 수 있다.

 

연결 사상  복시테인 준동형이라고 한다. 여기서

 

는 사슬 복합체의 현수이다.

사슬 복합체호몰로지의 경우에도 마찬가지로 복시테인 준동형이 존재한다. 일반적으로, 원래 (공)사슬 복합체의 등급이  라면, 복시테인 준동형의 등급 역시  이다.

복시테인 스펙트럼 열편집

공사슬 복합체  의, 등급  단사 자기 사상

 

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 짧은 완전열을 적을 수 있다.

 

그렇다면, 이에 대한 코호몰로지를 취하면 다음과 같은 완전쌍을 얻는다.

 

이에 대하여 유도되는 스펙트럼 열복시테인 스펙트럼 열(Бокштейн spectrum列, 영어: Bockstein spectral sequence)이라고 하며, 그 첫 쪽은 다음과 같다.[1]:Theorem 3.8(a)

 
 
 

만약  이며  하계를 갖는다면 (즉,  하계를 갖는다면), 이는 다음으로 수렴한다.[1]:Theorem 3.8(b)

 

마찬가지로 호몰로지의 경우에도 복시테인 스펙트럼 열을 적을 수 있다.

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스틴로드 연산편집

가장 흔히 쓰이는 복시테인 준동형은 다음 짧은 완전열로부터 유도한, 코호몰로지에 대한 준동형들이다.

 

그렇다면, 위상 공간   위의 특이 사슬 복합체에 대하여 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

 

이로부터 다음과 같은 복시테인 준동형을 유도한다.

 

이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

  •   ( 은 3 이상의 소수)
  •  

따라서, 이 복시테인 준동형은 (등급 달린) 라이프니츠 법칙을 만족시키는 (등급) 미분을 이룬다.

정수 슈티펠-휘트니 특성류편집

이와 비슷하게, 짧은 완전열

 

에 대한 복시테인 준동형

 

또한 쓰인다. 예를 들어, 정수 슈티펠-휘트니 특성류  는 (일반) 슈티펠-휘트니 특성류  에 복시테인 준동형을 가하여 얻는다.

역사편집

메예르 펠릭소비치 복시테인(러시아어: Ме́ер Фе́ликсович Бокште́йн, 1913~1990)이 도입하였다.[2][3][4]

참고 문헌편집

  1. Palmieri, J. H. (2005). “A user’s guide to the Bockstein spectral sequence” (PDF) (영어). 
  2. Bockstein, M. (1942). “Universal systems of ∇-homology rings”. 《Доклады Академии Наук СССР》 (영어) 37: 243–245. MR 0008701. Zbl 0060.40901. 
  3. Bockstein, M. (1943). “A complete system of fields of coefficients for the ∇-homological dimension”. 《Доклады Академии Наук СССР》 (영어) 38: 187–189. MR 0009115. Zbl 0060.40902. 
  4. Bockstein, Meyer (1958). “Sur la formule des coefficients universels pour les groupes d’homologie”. 《Comptes Rendus de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) 247: 396–398. MR 0103918. Zbl 0082.16501. 

외부 링크편집