상한과 하한

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순서론에서, 어떤 집합 T의 부분 집합 S에 대해 S의 상한(上限, 영어: supremum 슈프리멈^[*]) 또는 최소 상계(最小上界, 영어: least upper bound, LUB)는 T의 원소 중 S의 모든 원소보다 큰 최소의 원소 (최소 상계)를 말한다. 마찬가지로, 하한(下限, 영어: infimum 인파이멈^[*]) 또는 최대 하계(最大下界, 영어: greatest lower bound, GLB)는 T의 원소 중 S의 모든 원소보다 작은 최대의 원소 (최대 하계)를 말한다.

집합 $A$의 모든 원소가 파란색으로 표시되어 있다. 임의의 빨간색 원소는 모든 파란색 원소보다 크거나 같고, 그 중에서 가장 작은 빨간색 값(다이아몬드)이 최소 상계가 된다.

정의

상계와 하계

원순서 집합 $(P,\lesssim )$의 부분 집합 $S\subset P$의 상계(上界, 영어: upper bound) $p\in P$는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.

• 모든 $s\in S$에 대하여, $s\lesssim p$이다.

원순서 집합 $(P,\lesssim )$의 부분 집합 $S\subset P$의 하계(下界, 영어: lower bound) $p\in P$는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.

• 모든 $s\in S$에 대하여, $s\gtrsim p$이다.

상한과 하한

원순서 집합 $(P,\lesssim )$의 부분 집합 $S\subset P$의 상한 $s\in P$는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.

• 모든 $p\in P$에 대하여, 만약 $p$가 $S$의 상계라면, $p\gtrsim s$이다.

원순서 집합 $(P,\lesssim )$의 부분 집합 $S\subset P$의 하한 $i\in P$는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.

• 모든 $p\in P$에 대하여, 만약 $p$가 $S$의 하계라면, $i\gtrsim p$이다.

즉, 어떤 집합의 상한은 그 상계들의 집합의 최소 원소이며, 하한은 그 하계들의 집합의 최대 원소이다.

모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는 부분 순서 집합을 완비 격자라고 한다.

성질

임의의 원순서 집합에서, 정의에 따라, 공집합 $\varnothing \subseteq P$의 상한은 (만약 존재한다면) $P$의 최소 원소이며, 공집합 $\varnothing \subseteq P$의 하한은 (만약 존재한다면) $P$의 최대 원소이다.

유일성

원순서 집합의 최소 원소들은 서로 동치이며, 따라서 어떤 집합의 상한의 동치류는 (만약 존재한다면) 유일하다. 이는 하한도 마찬가지다.

만약 $P$가 부분 순서 집합이라면, 최소 원소 및 최대 원소는 유일하며, 이 경우 어떤 집합의 상한 또는 하한은 만약 존재한다면 유일하다. 이 경우 집합 $S$의 상한은 $\sup S$ 또는 $\textstyle \bigvee S$로, 하한은 $\inf S$ 또는 $\textstyle \bigwedge S$로 쓴다.

존재

부분 순서 집합의 부분 집합 $S$가 최대 원소 $\max S$를 갖는다면, 이 집합은 상한을 가지며, $\sup S=\max S$이다. 마찬가지로, 만약 최소 원소가 존재한다면 하한이 존재하며, 최소 원소와 하한은 같다.

예

실수의 전순서 집합에서, 모든 유계 집합은 상한과 하한을 갖는다. 반대로, 모든 유계 집합이 상한과 하한을 갖는 순서체는 실수체밖에 없다.

확장된 실수의 전순서 집합 ${\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \sqcup \{-\infty ,+\infty \}$의 경우, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다. 유계가 아닌 실수 집합의 상한·하한은 확장된 실수 집합으로서의 상한·하한을 말하는 것이다. 즉, 상계가 없는 실수 집합의 상한은 $+\infty$, 하계가 없는 실수 집합의 하한은 $-\infty$이다.

실수의 부분 집합으로서, 열린 구간 $(0,1)$은 상한 $1$을 갖지만, 최대 원소를 갖지 않는다.

외부 링크

• “Upper and lower bounds”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Supremum”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Infimum”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Upper bound”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lower bound”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Least upper bound”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Greatest lower bound”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bounded from above”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bounded from below”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 유계 집합
• 극대 원소와 극소 원소
• 상한공리