스코로호드 공간
확률론과 실해석학에서 스코로호드 공간(Скороход空間, 영어: Skorokhod space)은 실수 구간 위에 정의된, 왼쪽 극한을 가지며 오른쪽 연속인 함수들의 폴란드 공간이다.[1]:Chapter 3 그 원소를 카들라그 함수(càdlàg函數, 영어: càdlàg function)라고 한다. 그 위의 위상인 스코로호드 위상(Скороход位相, 영어: Skorokhod topology)에서의 수렴은 시간의 측정(특히, 함수의 불연속점이 발생하는 시각)이 오차를 가질 수 있음을 반영한다.
정의
편집다음이 주어졌다고 하자.
![{\displaystyle [a,b]\subsetneq \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298b4e6456eb34fc1a183abbd00fbfbed9e39a5a)
그렇다면, 함수 가 다음 조건을 만족시킨다면, 카들라그 함수라고 한다.[1]:121, Chapter 3
![{\displaystyle f\colon [a,b]\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f71527e347065d613af71a8e04a5a6f63254abfa)
![{\displaystyle \forall s\in (a,b]\colon \exists \lim _{t\to s^{-}}f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a663496108b1ae764a8fa3af9df0fd9439406646)
즉, 오른쪽 극한과 왼쪽 극한이 둘 다 존재하며, 실제 함수 값은 오른쪽 극한과 같아야 한다.
카들라드 함수들의 집합을 라고 하자. 이 위에, 다음과 같은 거리 함수를 주자.[1]:125, (12.16)
![{\displaystyle \mathbb {D} ([a,b],X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8c957ae2aafe3e74d7d4363b3801cefc9d21b8)
![{\displaystyle d_{\mathbb {D} }(f,g)=\inf _{\theta \in \operatorname {Aut} ([a,b])}\max \left\{\sup _{t\in [a,b]}d_{X}(f(t),g(\theta (t))),\;\sup _{a\leq s<t\leq b}\left|\ln {\frac {\theta (t)-\theta (s)}{t-s}}\right|\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87cc8b61dcd1e2a068bb1e1da4b7e8d6d8970dc7)
여기서
![{\displaystyle \operatorname {Aut} ([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb5e2a2a3b3a489d91cda67562de55d7fc420eb)
![{\displaystyle [a,b]\to [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78f975336661dc03a048aaa7cc64f5a30eb556f)
그렇다면, 이는 분해 가능 완비 거리 공간을 이룬다.[1]:Theorem 12.2 를 스코로호드 공간이라고 한다.
![{\displaystyle (\mathbb {D} ([a,b],X),d_{\mathbb {D} })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f8678e45131d3058583eda3fa062aebff318da)
성질
편집스코로호드 공간에 다음과 같은, 더 단순한 거리 함수를 줄 수도 있다.
![{\displaystyle d'_{\mathbb {D} }(f,g)=\inf _{\theta \in \operatorname {Aut} (E,E)}\max \left\{\sup _{t\in [a,b]}d_{X}(f(t),g(\theta (t))),\;\sup _{a\leq s\leq t\leq b}|\theta (t)-s|\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37fb27544cea07ffa47b0d476a3a5435a8565a33)
이는 와 같은 위상을 정의하지만, 이는 일반적으로 완비 거리 공간을 정의하지 못한다.[1]:125, Example 12.2
임의의 에 대하여,
![{\displaystyle \theta \in \operatorname {Aut} ([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1123ba8ff7c44f95076bc7098a1d19f40899e942)
![{\displaystyle (\circ \theta )\colon D([a,b],X)\to \mathbb {D} ([a,b],X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ddfd564698bb444dce2872ebc9be288d0d9a100)
포함 관계
편집정의에 따라, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([a,b],X)\subsetneq \mathbb {D} ([a,b],X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b90b8da3003fff9334338765a0b7772f9bc54512)
만약 에 거리 함수
![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([a,b],X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2da4a025150eeeeca4e6053177baee2682c66b)
![{\displaystyle d(f,g)=\sup _{t\in [a,b]}d_{X}(f(t),g(t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41139f5bc2dc8e2671a6e32ee8a8f22dc85ad762)
를 부여할 경우, 이 포함 사상은 연속 함수이다. 또한, 연속 함수의 스코로호드 수렴은 이 거리 함수에서의 수렴과 동치이다. 따라서, 는 의 닫힌집합을 이룬다.
수렴
편집스코로호드 위상에서, 카들라그 함수열
![{\displaystyle (f_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {D} ([a,b],X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5486605baa2259fbcf422d5c5480f40b66c08278)
이
![{\displaystyle f\in \mathbb {D} ([a,b],X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21d529fc3c0269102021dee3d3ef318f12c79e24)
로 수렴할 필요 충분 조건은 다음과 같다.
![{\displaystyle (\theta _{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq \operatorname {Aut} ([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5026dd29cc700418f03aed201ffec931df125e)
![{\displaystyle \operatorname {id} _{[a,b]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be58d551684cb386bb0efe406474c3722c80beb0)
특히, 만약 함수열 가 연속 함수만으로 구성된다면, 그 (스코호로트 위상에서의) 수렴은 의 균등 수렴과 동치이다.[1]:124, §12
다른 위상
편집위에 L∞ 노름
![{\displaystyle \|f\|=\sup _{t\in [a,b]}f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645e01e1c48b477bc792ced8aa6bff4942d97657)
을 주면 이는 바나흐 공간을 이루지만, 이는 분해 가능 공간을 이루지 못한다. 이 때문에 이 위상은 확률론에서 잘 사용되지 않는다.
역사
편집“카들라그 함수”(프랑스어: fonction càdlàg)라는 용어는 프랑스어: continue à droite, limite à gauche 콩티뉘 아 드루아트, 리미트 아 고슈[*](오른쪽에서 연속, 왼쪽에서 극한)의 머리글자를 딴 것이다.
카들라그 함수의 공간 위의 스코로호드 위상은 L∞ 노름의 분해 가능성의 실패를 고치기 위하여 아나톨리 볼로디미로비치 스코로호드(우크라이나어: Анато́лій Володи́мирович Скорохо́д, 러시아어: Анато́лий Влади́мирович Скорохо́д 아나톨리 블라디미로비치 스코로호트[*], 1930〜2011)가 1956년에 도입하였다.[2] 이 논문에서 스코로호드는 여러 개의 위상들( , , , )을 정의하였는데, 그 가운데 오늘날 ‘스코로호드 위상’이라고 불리는 것은 이다.
각주
편집- ↑ 가 나 다 라 마 바 Billingsley, Patrick (1999). 《Convergence of probability measures》. Wiley Series in Probability and Statistics (영어) 2판. John Wiley and Sons. doi:10.1002/9780470316962. ISBN 978-0-471-19745-4.
- ↑ Skorokhod, A. V. (1956). “Limit theorems for stochastic processes”. 《Theory of Probability and Applications》 (영어) 1–3: 261–290. doi:10.1137/1101022.
외부 링크
편집- “Skorokhod topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Skorokhod space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Mazany, Agnieszka. “Cadlag function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Jakubowski, Adam (2007). 〈The Skorokhod space in functional convergence: a short introduction〉. 《International conference: Skorokhod Space. 50 years on, 17-23 June 2007, Kyiv, Ukraine. Part I》 (영어). 11-18쪽.