리 군론에서 카르탕 대합(Cartan對合, 영어: Cartan involution)은 킬링 형식음의 정부호로 만드는 리 대수 대합이다.

정의

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실수 반단순 리 대수  가 주어졌으며, 그 킬링 형식

 
 

을 생각하자.

 리 대수 자기 동형

 

가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 카르탕 대합이라고 한다.

  • (대합 조건)  
  •    위의 음의 정부호 이차 형식이다.

성질

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존재와 유일성

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모든 실수 반단순 리 대수  는 카르탕 대합을 갖는다. 또한, 임의의 두 카르탕 대합  ,  에 대하여

 

가 되는,  에 대응하는 단일 연결 리 군  의 원소  가 존재한다. 즉, 실수 반단순 리 대수에 대하여 카르탕 대합은 내부 자기 동형을 무시하면 유일하게 존재한다.

카르탕 분해

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표수가 2가 아닌   위의 리 대수  대합

 

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  고윳값 이므로, 이에 대한 고유 공간

 
 

을 정의할 수 있다.  리 대수 자기 동형이므로,

 
 
 

이다. 특히,  는 부분 리 대수를 이룬다. 이를 대합  에 대한 카르탕 분해라고 한다.

만약  이며  가 카르탕 대합이라면, 다음 성질들이 추가로 성립한다.

  • 킬링 형식   에서 음의 정부호 이차 형식이며,  에서 양의 정부호이다.
  •    에 대하여 서로 수직이다. 즉,  이다.

  위의 카르탕 대합은

 

이다. (여기서    정사각 행렬전치 행렬이다.) 이에 따른 카르탕 분해는

 
 

이다.

만약 실수 반단순 리 대수  킬링 형식음의 정부호라면 (즉, 콤팩트 리 군에 대응한다면), 카르탕 대합은 항등 함수이다. 이 경우 카르탕 분해는  이며  이다.

역사

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1880년대에 엘리 카르탕빌헬름 킬링의 업적에서 최초로 등장한다.

외부 링크

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