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수학에서, 카르탕 행렬(Cartan行列, 영어: Cartan matrix)은 특정 조건을 만족시키는 정수 정사각 행렬이다.

목차

정의편집

정수 성분 정사각 행렬

 

가 다음 조건을 만족시킨다면, 카르탕 행렬이라고 한다.

  • 모든  에 대하여,  
  • 모든  에 대하여, 만약  라면  
  • 모든  에 대하여, 만약  이라면  

딘킨 도표편집

카르탕 행렬  가 주어졌을 때, 이에 대응하는 딘킨 도표(영어: Dynkin diagram)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 그래프  
     
     
  • 각 변  에 대하여, 양의 정수 순서쌍  

이 데이터로부터 카르탕 행렬을 재구성할 수 있다.

분류편집

  정사각 행렬  에 대하여, 만약

 

 가 존재하지 않는다면,  분해 불가능 행렬(영어: indecomposable matrix)이라고 하자. 모든 행렬은 분해 불가능 행렬들의 직합으로 표현된다.

분해 불가능 카르탕 행렬   가운데, 다음과 같이 대각 행렬대칭 행렬의 곱으로 표현될 수 있는 것을 대칭화 가능 카르탕 행렬(영어: symmetric Cartan matrix)이라고 한다.

 ,  
 
 

이 경우, 항상  의 대각선 성분을 양의 정수로,  의 성분을 유리수로 잡을 수 있다.

증명:

분해 가능 대칭화 가능 카르탕 행렬은 분해 불가능 대칭화 가능 카르탕 행렬들의 직합이므로, 분해 불가능인 경우만 고려하면 족하다.

 가 분해 불가능 대칭화 가능 카르탕 행렬이라고 하고, 그 분해를

 
 

라고 하자. 이제, 각  에 대하여,  이므로  이다.

이제, 각  에 대하여, 만약  이라면,

 

이다. 분해 불가능 조건에 따라, 이 값들은  사영 동치류를 결정하며, 성분의 비가 모두 양의 유리수이므로 이 동치류는 양의 정수 성분의 대표원

 
 

을 갖는다. 이 경우

 

를 놓으면

 

이다. 또한,

 

이므로,

 

이다.

대칭화 가능 카르탕 행렬은  개의 실수 고윳값을 가진다. 대칭화 가능 카르탕 행렬  들은 그 고윳값에 따라 다음과 같이 분류된다.

  • 만약  고윳값이 모두 양수일 경우, 카르탕 행렬을 유한형 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 복소수 단순 리 대수일대일 대응한다.
  • 만약  고윳값이 모두 양수 또는 0이며, 0을 하나 이상 포함할 경우, 카르탕 행렬을 아핀 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 아핀 리 대수일대일 대응한다.
  • 만약  고윳값이 음수를 포함한다면, 카르탕 행렬을 아핀 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 아핀 리 대수일대일 대응한다.

편집

1×1 카르탕 행렬은

 

밖에 없다.

2×2 카르탕 행렬들은 다음과 같다.

 

2×2의 경우, 만약  이라면 항상

 

으로 놓을 수 있어, 항상 대칭 카르탕 행렬이다.  고윳값

 

이다.

이 경우,

  • 유한형 카르탕 행렬은 ( 라고 놓으면)  이다. 이들은 각각 반단순 리 대수  ,  ,  ,  에 대응된다.
  • 아핀 카르탕 행렬은 ( 라고 놓으면)  이다. 이들은 각각 아핀 리 대수   에 해당한다.

역사편집

엘리 카르탕의 이름을 땄으나, 이름과 달리 빌헬름 킬링이 최초로 사용하였다.

외부 링크편집