쿠런트 준대수 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
매끄러운 벡터 다발
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
벡터 다발 사상
ρ
:
E
→
T
M
{\displaystyle \rho \colon E\to \mathrm {T} M}
s
↦
ρ
s
{\displaystyle s\mapsto \rho _{s}}
닻 (영어 : anchor )이라고 한다. 이를
C
∞
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}
E
{\displaystyle E}
대칭 쌍선형 형식
⟨
−
,
−
⟩
:
E
⊗
E
→
R
×
M
{\displaystyle \langle -,-\rangle \colon E\otimes E\to \mathbb {R} \times M}
단면 위의 쌍선형 형식
δ
:
Γ
∞
(
E
)
→
Γ
∞
(
End
(
E
)
)
{\displaystyle \delta \colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(\operatorname {End} (E))}
ϕ
↦
δ
ϕ
{\displaystyle \phi \mapsto \delta _{\phi }}
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
[
δ
s
,
δ
t
]
=
δ
δ
s
t
{\displaystyle [\delta _{s},\delta _{t}]=\delta _{\delta _{s}t}}
δ
s
(
f
t
)
=
(
ρ
s
f
)
t
+
f
δ
s
t
{\displaystyle \delta _{s}(ft)=(\rho _{s}f)t+f\delta _{s}t}
[
ρ
s
,
ρ
t
]
=
ρ
δ
s
t
{\displaystyle [\rho _{s},\rho _{t}]=\rho _{\delta _{s}t}}
ρ
s
⟨
t
,
u
⟩
=
⟨
δ
s
t
,
u
⟩
+
⟨
t
,
δ
s
u
⟩
=
⟨
s
,
δ
t
u
+
δ
u
t
⟩
{\displaystyle \rho _{s}\langle t,u\rangle =\langle \delta _{s}t,u\rangle +\langle t,\delta _{s}u\rangle =\langle s,\delta _{t}u+\delta _{u}t\rangle }
쿠런트 준대수 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
매끄러운 벡터 다발
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
1차 미분 연산
D
:
C
∞
(
M
)
→
Γ
∞
(
E
)
{\displaystyle D\colon {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to \Gamma ^{\infty }(E)}
E
{\displaystyle E}
대칭 쌍선형 형식
⟨
−
,
−
⟩
:
E
⊗
E
→
R
×
M
{\displaystyle \langle -,-\rangle \colon E\otimes E\to \mathbb {R} \times M}
E
{\displaystyle E}
쌍선형 형식
[
−
,
−
]
:
E
⊗
E
→
R
×
M
{\displaystyle [-,-]\colon E\otimes E\to \mathbb {R} \times M}
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
⟨
D
f
,
[
s
,
t
]
⟩
=
⟨
D
⟨
D
f
,
t
⟩
,
s
⟩
−
⟨
D
⟨
D
f
,
s
⟩
,
t
⟩
{\displaystyle \langle Df,[s,t]\rangle =\left\langle D\langle Df,t\rangle ,s\right\rangle -\left\langle D\langle Df,s\rangle ,t\right\rangle }
[
s
,
f
t
]
=
f
[
s
,
t
]
+
⟨
D
f
,
s
⟩
t
−
1
2
⟨
s
,
t
⟩
D
f
{\displaystyle [s,ft]=f[s,t]+\langle Df,s\rangle t-{\frac {1}{2}}\langle s,t\rangle Df}
⟨
D
f
,
D
g
⟩
=
0
{\displaystyle \langle Df,Dg\rangle =0}
⟨
D
⟨
s
,
t
⟩
,
u
⟩
=
⟨
[
u
,
s
]
+
1
2
D
⟨
u
,
s
⟩
,
t
⟩
+
⟨
s
,
[
u
,
t
]
+
1
2
D
⟨
u
,
t
⟩
⟩
{\displaystyle \langle D\langle s,t\rangle ,u\rangle =\left\langle [u,s]+{\frac {1}{2}}D\langle u,s\rangle ,t\right\rangle +\left\langle s,[u,t]+{\frac {1}{2}}D\langle u,t\rangle \right\rangle }
[
[
s
,
t
]
,
u
]
+
[
[
t
,
u
]
,
s
]
+
[
[
u
,
s
]
,
t
]
=
1
6
(
⟨
[
s
,
t
]
,
u
⟩
+
⟨
[
t
,
u
]
,
s
⟩
+
⟨
[
u
,
s
]
,
t
⟩
)
{\displaystyle [[s,t],u]+[[t,u],s]+[[u,s],t]={\frac {1}{6}}\left(\langle [s,t],u\rangle +\langle [t,u],s\rangle +\langle [u,s],t\rangle \right)}
이 두 정의는 서로 동치 이며, 그 사이의 관계는 다음과 같다.
[
s
,
t
]
=
δ
s
t
−
δ
t
s
{\displaystyle [s,t]=\delta _{s}t-\delta _{t}s}
δ
s
t
=
[
s
,
t
]
+
1
2
D
⟨
s
,
t
⟩
{\displaystyle \delta _{s}t=[s,t]+{\frac {1}{2}}D\langle s,t\rangle }
⟨
D
f
,
s
⟩
=
ρ
s
f
{\displaystyle \langle Df,s\rangle =\rho _{s}f}
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
2
n
{\displaystyle 2n}
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
⟨
−
,
−
⟩
{\displaystyle \langle -,-\rangle }
(
n
,
n
)
{\displaystyle (n,n)}
E
{\displaystyle E}
디랙 구조
L
⊆
E
{\displaystyle L\subseteq E}
dim
L
=
n
{\displaystyle \dim L=n}
⟨
s
,
t
⟩
=
0
∀
s
,
t
∈
Γ
∞
(
L
)
{\displaystyle \langle s,t\rangle =0\qquad \forall s,t\in \Gamma ^{\infty }(L)}
δ
s
t
=
[
s
,
t
]
∈
Γ
∞
(
L
)
∀
s
,
t
∈
Γ
∞
(
L
)
{\displaystyle \delta _{s}t=[s,t]\in \Gamma ^{\infty }(L)\qquad \forall s,t\in \Gamma ^{\infty }(L)}
류장쥐(중국어 간체자 : 刘张炬 , 정체자 : 劉張炬 , 병음 : Liú Zhāngjù , 한자음 : 영어 : Alan Weinstein ) · 쉬핑(중국어 : 徐平 , 병음 : Xú Píng , 한자음 : [3] 영어 : Theodore James Courant )의 이름을 땄다.
![{\displaystyle [\delta _{s},\delta _{t}]=\delta _{\delta _{s}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f559f33ebd4e4ffd87c3a0110d846d1c7428e8)
![{\displaystyle [\rho _{s},\rho _{t}]=\rho _{\delta _{s}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e7fd964b710bbee8a3cae4af6b584daabdab679)
![{\displaystyle [-,-]\colon E\otimes E\to \mathbb {R} \times M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020dba72a7d325f661babce68e5d449a7591e621)
![{\displaystyle \langle Df,[s,t]\rangle =\left\langle D\langle Df,t\rangle ,s\right\rangle -\left\langle D\langle Df,s\rangle ,t\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4766b90cb050d6df4e5398347a34810d5be42a9c)
![{\displaystyle [s,ft]=f[s,t]+\langle Df,s\rangle t-{\frac {1}{2}}\langle s,t\rangle Df}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d8b4ce4d61e848f470a83b10bf2687907e2aff)
![{\displaystyle \langle D\langle s,t\rangle ,u\rangle =\left\langle [u,s]+{\frac {1}{2}}D\langle u,s\rangle ,t\right\rangle +\left\langle s,[u,t]+{\frac {1}{2}}D\langle u,t\rangle \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1415871e8e69ee26597f446239d3afe2356319)
![{\displaystyle [[s,t],u]+[[t,u],s]+[[u,s],t]={\frac {1}{6}}\left(\langle [s,t],u\rangle +\langle [t,u],s\rangle +\langle [u,s],t\rangle \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f323e2314e39e80ca0a4d7bb2f19f58576afd6c7)
![{\displaystyle [s,t]=\delta _{s}t-\delta _{t}s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a4a6612ce8e32793c7476a5539f6fc58b6d5560)
![{\displaystyle \delta _{s}t=[s,t]+{\frac {1}{2}}D\langle s,t\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05716265632ac7b3eb52d13512ca4d6a3ff0285)
![{\displaystyle \delta _{s}t=[s,t]\in \Gamma ^{\infty }(L)\qquad \forall s,t\in \Gamma ^{\infty }(L)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c9c2c4c6fa4ca7a976c97df2d4fc11f15d66153)
![{\displaystyle \delta _{X+\xi }(Y+\eta )=[X,Y]+({\mathcal {L}}_{X}\,\eta -Y\lrcorner \mathrm {d} \xi +X\lrcorner Y\lrcorner H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690165e0b663e9648efa2ee49c705d8a2af2e123)
