기본류

대수적 위상수학에서 기본류(基本類, 영어: fundamental class)는 다양체 전체에 해당하는 호몰로지 동치류이다.

정의

$M$이 $n$차원 연결 가향 다양체라고 하자. 그렇다면 그 최고차 호몰로지 군은 무한 순환군과 동형이다.

$H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$

또한, $M$ 위의 방향의 선택은 $H_{n}(M)$의 생성원(즉, 1 또는 −1)을 고르는 것과 같다. 따라서, 유향 다양체의 경우 이 생성원 $[M]\in H_{n}(M,\mathbb {Z} )$를 $M$의 기본류라고 한다.

만약 $M$이 연결 공간이지만 비가향공간이라면 정수 계수의 호몰로지를 정의할 수 없다. 하지만 $\mathbb {Z} /2$ 계수의 호몰로지는 정의할 수 있다. 이 경우

$H_{n}(M,\mathbb {Z} /2)\cong \mathbb {Z} /2$

이고, $M$의 기본류는 0이 아닌 원소 $0\neq [M]\in H_{n}(M,\mathbb {Z} /2)$이다.

만약 $M$이 경계 $\partial M$을 가진 콤팩트 유향 다양체라면, 상대 호몰로지

$H_{n}(M,\partial M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$

이므로 마찬가지로 기본류를 정의할 수 있다.

성질

푸앵카레 쌍대성

푸앵카레 쌍대성에 의해, 주어진 $M$의 코호몰로지 동치류 $\alpha \in H^{k}(M)$에 대하여 $M$의 기본류와 $\alpha$ 사이의 합곱은 $\alpha$와 동형이다:

$\alpha \cong [M]\frown \alpha \in H_{n-k}(M)$

이 동형 사상을 다음과 같이 표기하기도 한다.

$[M]\frown \colon H^{k}(M)\to H_{n-k}(M)$

참고 문헌

• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic Topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Fundamental class”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.