데데킨트 제타 함수

대수적 수론에서 데데킨트 제타 함수(Dedekind ζ 函數, 영어: Dedekind zeta function)는 임의의 대수적 수체에 대하여 정의되는 유리형 함수이다. 이는 리만 제타 함수의 일반화이다. 구체적으로, 리만 제타 함수는 유리수체에 대한 데데킨트 제타 함수이다.

데데킨트 제타 함수는 L-함수의 대표적인 예이다.

역사

페터 구스타프 르죈 디리클레가 쓴 수론 교재 《수론 강의》(독일어: Vorlesungen über Zahlentheorie)에서, 리하르트 데데킨트가 쓴 부록에 처음 등장하였다.

정의

대수적 수체 $K$가 주어졌고, 또한 $s\in \mathbb {C}$가 $\operatorname {Re} (s)>1$이라고 하자. 그렇다면 수체 $K$의 데데킨트 제타 함수 $\zeta _{K}(s)$는 다음과 같은 디리클레 급수로 정의된다.

$\zeta _{K}(s)=\sum _{{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}^{{\mathfrak {a}}\neq 0}{\frac {1}{\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {a}})^{s}}}$

여기서

• $\textstyle \sum _{{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}^{{\mathfrak {a}}\neq 0}$는 $K$의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{K}$의 0이 아닌 아이디얼들에 대한 합이다.
• $\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {a}})=|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {a}}|$는 ${\mathfrak {a}}$에 대한 몫환의 크기이다.

일반적인 $s\in \mathbb {C}$에 대해서는 이 함수를 해석적 연속을 통해 복소 평면 전체로 유리형 함수로 확장시킬 수 있다. 이 경우, 유일한 극점은 $s=1$이다. 이 극점에서의 유수는 유수 공식으로 주어지며, 수체 $K$의 수론적인 불변량들로 주어진다.

성질

데데킨트 제타 함수는 다른 L-함수와 마찬가지로 오일러 곱(Euler product)과 함수 방정식(functional equation)을 갖는다.

오일러 곱

데데킨트 제타 함수는 다음과 같은 오일러 곱을 갖는다. 모든 $\operatorname {Re} s>1$인 $s\in \mathbb {C}$에 대하여,

$\zeta _{K}(s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {p}})^{-s}}}$

여기서

• $\textstyle \prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}}$는 $K$의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{K}$의 소 아이디얼들에 대한 곱이다.

이는 수체의 대수적 정수환은 데데킨트 정역이고, 데데킨트 정역에서는 아이디얼이 소 아이디얼로의 유일 소인수분해가 성립하기 때문이다.

함수 방정식

데데킨트 제타 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 갖는다. 감마 인자(gamma factor)를 다음과 같이 정의하자.

$\Gamma _{\mathbb {R} }(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)$

$\Gamma _{\mathbb {C} }(s)=2(2\pi )^{-s}\Gamma (s)$

여기서 Γ(s)는 감마 함수이다. 그렇다면 다음을 정의하자.

$\Lambda _{K}(s)=\left|\Delta _{K}\right|^{s/2}\Gamma _{\mathbb {R} }(s)^{r_{\mathbb {R} }}\Gamma _{\mathbb {C} }(s)^{r_{\mathbb {C} }}\zeta _{K}(s)$

여기서

• $r_{\mathbb {R} }$는 $K$의 실 위치(real place)의 수이다.
• $r_{\mathbb {C} }$는 $K$의 복소 위치(complex place)의 수이다.
• $\Delta _{K}$는 $K$의 판별식이다.

그렇다면 다음과 같은 함수 방정식이 성립한다. 모든 $s\in \mathbb {C}$에 대하여,

$\Lambda _{K}(s)=\Lambda _{K}(1-s)$

같이 보기

• 특수함수
• 데데킨트 에타 함수

참고 문헌

• Narkiewicz, Władysław (2004). 《Elementary and analytic theory of algebraic numbers》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Berlin: Springer-Verlag. Chapter 7. ISBN 978-3-540-21902-6. MR 2078267. 

외부 링크

• “Zeta-function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• 이철희. “데데킨트 제타함수”. 《수학노트》. 
• 이철희. “복소 이차 수체의 데데킨트 제타함수”. 《수학노트》. 
• 이철희. “이차 수체의 데데킨트 제타함수”. 《수학노트》. 
• 이철희. “원분체의 데데킨트 제타함수”. 《수학노트》.