제트 군

미분기하학에서 제트 군(jet群, 영어: jet group) 또는 미분군(微分群, 영어: differential group)은 원점을 보존하는 유클리드 공간의 자기 미분 동형 사상들의 제트로 구성된 리 군이다.^{:§18, 128–138} 실수 일반 선형군의 고차 일반화이다.

정의

자연수 $n$과 $k$가 주어졌다고 하자.

$\operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} _{\bullet }}(\mathbb {R} ^{n},0)=\left\{f\in \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} }(\mathbb {R} ^{n}),\;f(0)=0\right\}$

가 미분 동형 사상 $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ 가운데, $f(0)=0$인 것(즉, 점을 가진 공간의 사상인 것)들의 집합이라고 하자. 이는 함수의 합성 아래 자연스럽게 군을 이룬다.

$n$차원 $k$차 제트 군($n$次元$k$次jet群, 영어: $n$-dimensional $k$th-order jet group) $\operatorname {Jet} (n,k)$는 $\operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} _{\bullet }}(\mathbb {R} ,0)$의 원소들의, $0\in \mathbb {R} ^{n}$에서의 $k$차 제트들의 집합이다.^{:119, §12.6:Definition 3.1}

$\operatorname {Jet} (n,k)=\left\{\mathrm {j} _{0}^{k}f\colon f\in \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} _{\bullet }}(\mathbb {R} ^{n},0)\right\}$

이는 자연스럽게 매끄러운 다양체를 이룬다. 또한, 그 위의 리 군 구조는 다음과 같다.

$(\mathrm {j} _{0}^{k}f)(\mathrm {j} _{0}^{k}g)=\mathrm {j} _{0}^{k}(f\circ g)$

즉, 자연스러운 전사 군 준동형

$\mathrm {j} _{0}^{k}\colon \operatorname {Aut} _{\operatorname {Diff} _{\bullet }}(\mathbb {R} ^{n},0)\to \operatorname {Jet} (n,k)$

이 존재한다.

성질

$\operatorname {Jet} (n,k)$의 차원은 다음과 같다.

$\dim \operatorname {Jet} (n,k)=n\left({\binom {n+k}{k}}-1\right)$

$n>0$이며 $k>0$일 경우, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니다.

$n$차원 매끄러운 다양체의 $k$차 틀다발은 자연스럽게 $\operatorname {Jet} (n,k)$를 구조군으로 갖는다.

반직접곱

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 리 군 $G$
• 자연수 $n$과 $k$

그렇다면, 제트 공간

$\mathrm {T} _{n}^{k}G=\{\mathrm {j} _{0}^{k}g\colon g\colon \mathbb {R} ^{n}\to G\}$

을 생각하자. 이는 점별 곱셈에 대하여 자연스럽게 다음과 같이 리 군을 이룬다.^{:Definition 3.3}

$(\mathrm {j} _{0}^{k}g)(\mathrm {j} _{0}^{k}g')=\mathrm {j} _{0}^{k}(gg')$

여기서

$gg'\colon x\mapsto g(x)g'(x)$

는 두 함수의 점별 곱셈이다.

그렇다면, 제트 군 $\operatorname {Jet} (n,k)$는 $\mathrm {T} _{n}^{k}G$ 위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.

$(\mathrm {j} _{0}^{k}g)\cdot (\mathrm {j} _{0}^{k}f)=\mathrm {j} _{0}^{k}(g\circ f)\qquad (f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\;g\colon \mathbb {R} ^{n}\to G)$

이는 군 준동형

$\operatorname {Jet} (n,k)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Aut} (\mathrm {T} _{n}^{k}G)$

을 이룬다. 따라서, 반직접곱

$\mathrm {T} _{n}^{k}G\rtimes \operatorname {Jet} (n,k)^{\operatorname {op} }$

을 정의할 수 있다.^{:Definition 3.4}

예

$k=0$이거나 또는 $n=0$인 경우, 제트 군은 자명군이다.

$\operatorname {Jet} (n,0)=\operatorname {Jet} (0,k)=1\qquad \forall n,k\in \mathbb {N}$

$k=1$일 경우, 제트 군은 실수 일반 선형군이다.

$\operatorname {Jet} (n,1)=\operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )\qquad \forall n\in \mathbb {N}$

외부 링크

• “Jet group”. 《nLab》 (영어). 
• “Jet groupoid”. 《nLab》 (영어).