3차원 초구

기하학에서 3차원 초구(三次元超球, 영어: 3-sphere, glome)는 4차원 공간 속의 단위 벡터로 구성된 리만 다양체이다. 그 위에는 리 군 SU(2)의 구조를 줄 수 있다.

정의

3차원 초구는 다음과 같이 대칭 공간을 이룬다.

$\mathbb {S} ^{3}\cong \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Sp} (1)$

$\mathbb {S} ^{3}\cong \operatorname {SO} (4)/\operatorname {SO} (3)$

또한, $\mathbb {S} ^{3}$는 노름 1의 사원수의 공간으로 여길 수 있다.

$\mathbb {S} ^{3}=\{x\in \mathbb {H} \colon \|x\|=1\}$

리만 구 $\mathbb {S} ^{2}\cong \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$ 위의 정칙 선다발 ${\mathcal {O}}(1)$에 대응하는 U(1) 주다발의 전체 공간은 $\mathbb {S} ^{3}$와 동형이다. 이는 호프 올다발

$\mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}$

을 정의한다.

성질

좌표계

3차원 초구 위에는 여러 개의 유용한 좌표계들이 존재한다.

구면 좌표계

3차원 초구 위에는 구면 좌표계를 사용할 수 있다. 즉, 좌표 $(\psi ,\theta ,\phi )$에 대하여

$\psi \in [0,\pi ]$

$\theta \in [0,\pi ]$

$\phi \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$

이며, 매장 $\mathbb {S} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{4}$은 다음과 같다.

$(\psi ,\theta ,\phi )\mapsto (\cos \psi ,\sin \psi \cos \theta ,\sin \psi \sin \theta \cos \phi ,\sin \psi \sin \theta \sin \phi )$

이 좌표계에서 3차원 초구의 리만 계량은 (반지름이 1일 때) 다음과 같다.

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} \psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}\right)$

부피 형식은 다음과 같다.

$\omega =\sin ^{2}\psi \sin \theta \mathrm {d} \psi \wedge \mathrm {d} \theta \wedge \mathrm {d} \phi$

호프 좌표계

3차원 초구 위의 호프 좌표계(Hopf座標系, 영어: Hopf coordinate system) $(\eta ,\xi ,\xi ')$는 다음과 같다.^:§2,§8

$\xi ,\xi '\in \mathbb {R} /(2\pi \mathbb {Z} )$

$\eta \in [0,\pi /2]$

매장 $\mathbb {S} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {C} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{4}$은 다음과 같다.

$(\eta ,\xi ,\xi ')\mapsto \left(\cos \eta \exp(\mathrm {i} \xi ),\sin \eta \exp(\mathrm {i} \xi ')\right)$

이 좌표계에서 3차원 초구의 리만 계량은 (반지름이 1일 때) 다음과 같다.

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} \eta ^{2}+\cos ^{2}\eta \,\mathrm {d} \xi ^{2}+\sin ^{2}\eta \,\mathrm {d} {\xi '}^{2}$

부피 형식은 다음과 같다.

$\omega =\sin \eta \cos \eta \,\mathrm {d} \eta \wedge \mathrm {d} \xi \wedge \mathrm {d} \xi '$

이 좌표계에서, 호프 올다발은 다음과 같다.

$\mathbb {S} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}$

$(\eta ,\xi ,\xi ')\mapsto (2\eta ,\xi -\xi ')$

여기서 $\mathbb {S} ^{2}$ 위의 좌표는 구면 좌표계이다. 즉,

$z=\exp(\mathrm {i} \xi )\sin \eta$

$z'=\exp(\mathrm {i} \xi ')\cos \eta$

라고 적으면,

$\cos(2\eta )=|z|^{2}-|z'|$

$\sin(2\eta )\exp(\mathrm {i} (\xi -\xi '))=2z{\bar {z'}}$

이므로

$(z,z')\mapsto (|z|^{2}-|z'|^{2},2z{\bar {z'}})$

가 되며,

$(|z|^{2}-|z'|^{2})^{2}+|2z{\bar {z'}}|^{2}=(|z|^{2}+|z'|^{2})^{2}=1$

이 된다.

군의 작용

$\mathbb {S} ^{3}$ 위에는 리 군 $\operatorname {O} (4)$가 작용한다. 그 가운데 $\operatorname {SO} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)/\{(1,1),(-1,-1)\}$은 SU(2)의, 스스로 위의 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 작용에 해당한다.

호프 올다발로 인하여, $\mathbb {S} ^{3}$는 $\mathbb {S} ^{2}$ 위의 U(1) 주다발을 이루며, 이는 $\operatorname {O} (3)\times \operatorname {U} (1)$의 작용을 정의한다. 이는 $\operatorname {O} (4)$의 부분군이다.

연속 함수

리 군 SU(2)의 곱셈 연산에 해당하는 매끄러운 함수

$\mathbb {S} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}\to \mathbb {S} ^{3}$

가 존재한다. 이는 노름 1의 사원수의 곱셈으로 생각할 수도 있다.

미분 형식

호프 올다발에 의하여, $\mathbb {S} ^{2}$의 부피 형식을 $\mathbb {S} ^{3}$에 당길 수 있다. 이는 물론 2차 완전 미분 형식이다. 이는 호프 올다발의 U(1)×SO(3) 대칭 가운데 U(1)의 작용에 대하여 불변이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Glome”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “3-sphere”. 《nLab》 (영어).