강제법

집합론에서 강제법(强制法, 영어: forcing)은 특정한 조건을 만족시키는 집합론 모형을 정의하는 방법이다.

강제법은 주어진 집합론의 모형에 새로운 집합을 추가함으로써 새로운 모형을 만드는 과정이다. 가령, 연속체 가설의 부정이 충족되는 모형을 만드려는 경우를 고려하자. $2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{2}$이면 연속체 가설이 거짓이므로, 자연수 집합 $\mathbb {N}$의 부분 집합을 충분히 많이 추가해서 새로운 모형을 만듦으로써 연속체 가설이 성립하지 않게 만드는 것을 생각할 수 있다. 강제법은 그러한 모형을 만드는 것을 가능하게 해 준다.

강제법에 대하여 파트리크 드오르누아(프랑스어: Patrick Dehornoy)는 다음과 같이 비유하였다.

“	집합론의 강제법 확장은 마치 체론의 대수적 확대에 비유할 수 있다. 두 경우 모두 공통적인 목표는 주어진 구조를 확장하되, 확장된 구조의 성질이 원래 구조 속에서 제어될 수 있게 하는 것이다. 대수적 확대의 경우, 확대체의 원소는 원래 체의 원소를 계수로 하는 다항식으로 묘사된다. 마찬가지로, 강제법 확장의 경우, […] 원소들은 원래 모형에 등장하는 매개 변수들로 쓸 수 있는 항들로 묘사된다. [On peut] imaginer les extensions par forcing en théorie des ensembles comme analogues aux extensions algébriques en théorie des corps: dans les deux cas, il s’agit de construire une extension de la structure de départ dont les propriétés soient contrôlées de l’intérieur de celle-ci. Dans les extensions algébriques, les éléments de l’extension sont décrits par des polynômes à coefficients dans le corps de base; de même, dans une extension par forcing […] les éléments dont décrits par des termes dont les paramètres appartiennent au modèle de base.	”
	— :§3

정의

강제법 언어

$M$이 추이적 집합이라고 하자. 또한, 임의의 집합 $P$ 및 그 부분 집합 $G\subseteq P$가 주어졌다고 하자. 그렇다면

$M^{P}=\{u\in \operatorname {Name} _{P}\colon \operatorname {val} _{G}(u)\in M\}$

을 정의하자. 이는 $M$에서 $G$-해석할 수 있는 $P$-이름들의 집합이다.

그렇다면 강제법 언어 ${\mathcal {L}}_{P}$는 집합론의 1차 논리 언어 ${\mathcal {L}}_{\in }$에 $M^{P}$의 원소들을 상수(0항 연산)로 추가한 1차 논리 언어이다.

임의의 원소 $x\in M$에 대하여, 이름

${\check {x}}=\{({\check {y}},p)\colon y\in x,\;p\in P\}\in M^{P}$

를 정의하자.^{:239, Exercise VIII(B2)} 이는 $x\in M$의 이름이라고 한다.

강제법 모형

집합 $P$와 그 부분 집합 $G\subseteq P$ 및 추이적 집합 $M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\mathcal {L}}_{P}$의 추이적 모형 $M[G]$를 다음과 같이 정의하자.

• 집합으로서, $M[G]=\{\operatorname {val} (u,G)\colon u\in M^{P}\}$는 $M$에 속하는 이름들의 해석들이다.
• $\in$의 해석은 외적인 개념과 같다.
• $M[G]$에서, 상수 $u\in M^{P}$의 해석은 $\operatorname {val} _{G}(u)$이다.

이에 대하여 케네스 쿠넌은 다음과 같이 적었다.

“	대략, 이것[$M[G]$]은$M$에서 정의 가능한 집합론적 과정을 $G$에 적용하여 구성할 수 있는 모든 집합들의 집합이다. $M[G]$의 각 원소들은 $M$ 속의 이름을 가지며, 이는 이것이 어떻게 $G$로부터 구성되었는지를 가리킨다. […] $M$ 속에 사는 사람들은 $M[G]$의 원소의 이름 $\tau$를 이해할 수 있다. 그러나 이들은 이름 $\tau$가 명명하는 대상 $\tau _{G}$를 일반적으로 결정하지 못한다. 이는 $\tau _{G}$의 이해는 $G$에 대한 지식을 필요로 하기 때문이다. Roughly, this [$M[G]$] will be the set of all sets which can be constructed from $G$ by applying set-theoretic processes definable in $M$. Each element of $M[G]$ will have a name in $M$, which tells how it has been constructed from $G$. […] People living within $M$ will be able to comprehend a name, $\tau$, for an object in $M[G]$, but they will not in general be able to decide the object, $\tau _{G}$, that $\tau$ names, since this will require a knowledge of $G$.	”
	— :188, §VII.2

강제성 관계

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 추이적 집합 $M$
• 원순서 집합 $(P,\lesssim )$ 및 그 부분 집합 $G\subseteq P$. 대략, $p\lesssim q$라면 $q$가 $p$보다 "더 많은 정보를 제공한다"고 여긴다.
• 강제법 언어 ${\mathcal {L}}_{P}$의 1차 논리 문장 $\phi \in \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}_{P})$
• 원소 $p\in P\in M$. 이를 강제 조건(영어: forcing condition)이라고 한다.

그렇다면, 다음과 같은 관계를 정의하자.

$p\Vdash _{P,M}\phi \iff \forall G\in \operatorname {Generic} (P,M)\colon p\in G\implies M[G]\models \phi$

여기서 $\operatorname {Generic} (P,M)$는 $M$에 속하는 $P$의 모든 공종 집합들의 족 $\operatorname {Cofin} (P)\cap M$에 대하여 모든 $\operatorname {Cofin} (P)\cap M$-포괄적 순서 아이디얼들의 집합이다.

또한, 다음과 같은 관계

$p\Vdash ^{*}\phi$

를 재귀적으로 정의하자.^{:195–196, Definition VII.3.3} (여기서 $u,v\in \operatorname {Name} _{P}$는 임의의 두 $P$-이름이다.)

$\left(p\Vdash ^{*}u\in v\right)\iff \forall q\gtrsim p\exists r\gtrsim q\exists ({\tilde {u}},s)\in v\colon r\gtrsim s\land \left(r\Vdash u={\tilde {u}}\right)$

$\left(p\Vdash ^{*}u=v\right)\iff \forall q\gtrsim p\forall w\in M^{P}\colon (q\Vdash ^{*}w\in u)\iff (q\Vdash ^{*}w\in v)$

$\left(p\Vdash ^{*}\lnot \phi \right)\iff \nexists q\gtrsim p\colon q\Vdash \phi$

$\left(p\Vdash ^{*}\phi \land \chi \right)\iff \left(p\Vdash ^{*}\phi \right)\land \left(p\Vdash ^{*}\phi \right)$

$\left(p\Vdash ^{*}\forall x\colon \phi (x)\right)\iff \forall u\in M^{P}\colon \left(p\Vdash ^{*}\phi [u]\right)$

성질

강제법 모형

집합 $P$와 그 부분 집합 $G\subseteq M$ 및 추이적 집합 $M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$\{{\check {m}}\colon M\in M\}\subseteq M^{P}$

이다. 만약 $P\neq \varnothing$이라면

$M\to M^{P}$

$m\mapsto {\check {m}}$

은 단사 함수이며, 만약 추가로 $G\neq \varnothing$이라면

$\forall m\in M\colon \operatorname {val} _{G}({\check {m}})=m$

이다. 따라서, $G\neq \varnothing$이라면 $M\subseteq M[G]$이다.

또한, 만약 $\varnothing \neq G\subseteq P\in M$일 때, $P$-이름

$u=\{({\check {p}},p)\colon p\in P\}$

을 생각하면

$\operatorname {val} _{G}(u)=G$

이다. 따라서, 이 경우 $G\in M[G]$이다.

만약 $M$이 추가로 ZFC의 추이적 모형이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^{:189, Lemma VII.2.9:361, §4}

임의의 $M'\supseteq M$에 대하여, 만약 $M'$ 역시 ZFC의 추이적 모형이며 $M'\ni G$라면, $M[G]\subseteq M'$이다.

즉, $M[G]$는 $G$와 $M$을 포함하는 최소의 ZFC 추이적 모형이다.

이에 대하여 티머시 이청 차우(영어: Timothy Yi-Chung Chow)는 다음과 같이 적었다.

“	강제법의 기본 정리에 따르면, 매우 일반적인 조건 아래, ZFC 공리들을 만족시키는 수학적 구조 $M$에 새 원소 $U$를 추가하여, ZFC를 여전히 만족시키는 더 큰 구조 $M[U]$를 만들 수 있다. 개념적으로, 이 과정은 환 $R$에 새 원소 $X$를 추가하여 더 큰 환 $R[X]$를 만드는 과정에 비유할 수 있다. 그러나 $M[U]$의 구성이 훨씬 더 복잡한 이유는 ZFC의 공리계가 환의 공리계보다 훨씬 더 복잡하기 때문이다. The fundamental theorem of forcing is that, under very general conditions, one can indeed start with a mathematical structure $M$ that satisfies the ZFC axioms, and enlarge it by adjoining a new element $U$ to obtain a new structure $M[U]$ that also satisfies ZFC. Conceptually, this process is analogous to the process of adjoining a new element $X$ to, say, a given ring $R$ to obtain a larger ring $R[X]$. However, the construction of $M[U]$ is a lot more complicated because the axioms of ZFC are more complicated than the axioms for a ring.	”
	— :26, §2

강제성 관계의 성질

$M$이 ZFC의 추이적 모형이며, $P\in M$이며, $G$가 $P$ 위의 포괄적 순서 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 다음을 보일 수 있다. ${\mathcal {L}}_{P}$의 (자유 변수가 없는) 명제 $\phi$에 대하여,

• $M[G]\models \phi \iff M\models (\exists p\in G\colon p\Vdash ^{*}\phi )$.^{:200, Theorem VII.3.6(2)} 즉, $M[G]$에서 어떤 명제가 참이려면, 그러할 이유(즉, 명제를 강제하는 $p\in P$)가 존재해야 한다.
• (내적 정의 가능성) 임의의 문장 $\phi \in \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}_{P})$에 대하여, $p\Vdash \phi \iff M\models \left(p\Vdash ^{*}\phi \right)$^{:200, Theorem VII.3.6(1)}
• (일관성) $p\mapsto \{\phi \in {\mathcal {L}}_{P}\colon p\Vdash \phi \}$는 순서 보존 함수 $P\to ({\mathcal {P}}({\mathcal {L}}_{P}),\subseteq )$를 정의한다.^{:194, Lemma 3.2(a)} 즉, $p\Vdash \phi$이며 $p\lesssim q$라면 $q\Vdash \phi$이다.

이 핵심적인 성질들을 사용하여 각종 성질을 만족시키는 강제법 모형을 구성할 수 있다.

이에 대하여 케네스 쿠넌은 다음과 같이 설명하였다.

“	$M$에 사는 사람들은 $M$ 속에서 $P$-포괄적 $G$를 구성할 수 없다. 이들은 신앙으로서 그들의 세계 $M$이 가산적으로 보이는 존재가 존재한다는 것을 믿을 수 있다. 이러한 존재에게는 포괄적 $G$가 존재한다. $M$에 사는 사람들은 $G$와 $\textstyle f_{G}=\bigcup G$가 무엇인지 알지 못하지만, 이들의 이름이 무엇인지는 알고 있다. 또한, 이들은 $G$와 $f_{G}$가 만족시키는 일부 성질들을 알아낼 수 있다. 보다 일반적으로, 이들은 소위 강제법 언어 — 즉, 강제법 언어의 문장 $\psi$는 $M^{\mathbb {P} }$의 이름들을 사용한다 —를 사용하여 $M[G]$에 대한 뭔가를 말할 수 있다. $M$에 사는 사람은 주어진 $\psi$가 $M[G]$에서 참인지 알지 못할 수 있다. $M[G]$에서 $\psi$가 참인지, 거짓인지 여부는 일반적으로 $G$에 의존한다. People living in $M$ cannot construct a $G$ which is $\mathbb {P}$-generic over $M$. They may believe on faith that there exists a being to whom their universe, $M$, is countable. Such a being will have a generic $G$ and an $\textstyle f_{G}=\bigcup G$. The people in $M$ do not know what $G$ and $\textstyle f_{G}=\bigcup G$ are but they have names for them […]. They may also […] figure out certain properties of $G$ and $f_{G}$. […] More generally, they can construct a forcing language, where a sentence $\psi$ of the forcing language uses the names in $M^{\mathbb {P} }$ to assert something about $M[G]$ […]. The person in $M$ may not know whether a given $\psi$ is true in $M[G]$. The truth or falsity of $\psi$ in $M[G]$ will in general depend on $G$.	”
	— :193, §VII.3

기수의 보존

순서수의 개념은 절대적이다. 즉, 모형 속의 순서수의 개념은 모형 밖의 순서수의 개념과 일치한다. 그러나 기수의 개념(즉, 어떤 순서수가 기수인지 여부)은 절대적이지 않으며, 모형 $M$의 기수가 $M[G]$에서는 기수가 아닌 순서수일 수 있다.

ZFC의 추이적 모형 $M$ 및 $P\in M$ 및 $P$ 위의 원순서 $\lesssim$가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, $P$가 $M$의 기수를 보존한다(영어: preserves cardinals of $M$)고 한다.^{:206, Definition VII.5.6}

• 임의의 포괄적 순서 아이디얼 $G\subseteq P$ 및 순서수 $\alpha \in \operatorname {Ord} \cap M$에 대하여, $M\models (\alpha \in \operatorname {Card} )\iff M[G]\models (\alpha \in \operatorname {Card} )$이다.

만약 다음 조건이 성립한다면, $P$가 $M$의 공종도를 보존한다(영어: preserves cofinalities in $M$)고 한다.^{:206, Definition VII.5.6}

• 임의의 포괄적 순서 아이디얼 $G\subseteq P$ 및 두 순서수 $\alpha ,\beta \in \operatorname {Ord} \cap M$에 대하여, $M\models (\operatorname {cf} \alpha =\beta )\iff M[G]\models (\operatorname {cf} \alpha =\beta )$이다. (여기서 $\operatorname {cf}$는 순서수의 공종도를 뜻한다.)

그렇다면, 임의의 $P\in M$에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.^{:207, Lemma VII.5.8, Theorem VII.5.10}

($M\models$($P$는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다)) ⇒ $P$는 $M$의 공종도를 보존한다 ⇒ $P$는 $M$의 기수를 보존한다

예

무작위 강제법

$(P,\leq )=(\operatorname {Bor} ([0,1]),\supseteq )$라고 하자. 여기서 $\operatorname {Bor} ([0,1])$은 단위 구간 $[0,1]$ 위의, 르베그 측도가 양수인 보렐 집합들의 집합족이다. $(P,\leq )$는 최소 원소 $[0,1]$을 갖는 부분 순서 집합이다.

이 경우, 포괄적 필터 $G$는 ${\mathcal {P}}([0,1])$ 속의 필터 기저로서 어떤 실수 $r$로 수렴하게 된다.

$\lim G=r\in [0,1]\setminus V$

이 경우, $V[r]$는 무작위 강제법(영어: random forcing)이라고 한다.

코언 강제법

 이 부분의 본문은 부분 정의 함수입니다.

기수 $\kappa$에 대하여, $\operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )$가 정의역의 크기가 $\kappa$ 미만인 부분 정의 함수 $X\to Y$들의 부분 순서 집합이라고 하자. 그렇다면, 이 부분 순서 집합에 대한 강제법을 코언 강제법(영어: Cohen forcing)이라고 하며, 이를 사용하여 연속체 가설의 독립성을 보일 수 있다.

응용

강제법을 사용하여, 집합론의 여러 명제들이 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이라는 것을 보일 수 있다. 연속체 가설이나 구성 가능성 공리가 그 대표적인 예이다. 또한 강제법과 내부 모형을 이용하면 선택 공리의 독립성 또한 보일 수 있다.

계산 가능성 이론에서도 강제법이 응용된다.

역사

폴 코언이 ZFC에서 연속체 가설의 독립성을 증명하기 위해 1963년에 도입하였다. 코언이 사용한 기법은 구성 가능 위계를 핵심적으로 사용하였고, 오늘날 분기 강제법(分岐強制法, 영어: ramified forcing)이라고 불린다.

이후 데이나 스콧과 로버트 솔로베이가 완비 불 대수를 사용하여 구성 가능 위계를 사용하지 않는 기법을 개발하였으나, 출판하지 않았다.^{:163, §7} 이 기법은 조지프 로버트 숀필드가 정리하여 비분기 강제법(非分岐強制法, 영어: unramified forcing)이라는 이름으로 1971년에 출판하였다. 비분기 강제법이 더 간편하므로, 오늘날 "강제법"이라는 용어는 통상적으로 후자를 일컫게 되었다.

1971년에 로버트 솔로베이와 스탠리 테넨바움은 수슬린 가설의 독립성을 보이기 위하여 반복 강제법을 도입하였다.

외부 링크

• “Forcing method”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Forcing”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Forcing”. 《nLab》 (영어). 
• “What is the generic poset used in forcing, really?” (영어). Math Overflow. 
• “Is the forcing relation defined for mathematical formulas?” (영어). Math Overflow. 
• “Dropping “generic” from the definition of forcing” (영어). Math Overflow.