프로이덴탈 마방진

추상대수학에서 프로이덴탈 마방진(Freudenthal魔方陣, 영어: Freudenthal magic square)은 요르단 대수로부터 단순 리 대수를 구성하는 방법이다. 특히, 만약 요르단 대수를 실수 · 복소수 · 사원수 · 팔원수의 3×3 에르미트 행렬의 요르단 대수로 잡을 경우, 예외적 단순 리 대수 F₄ · G₂ · E₆ · E₇ · E₈을 대수적으로 구성할 수 있다.

정의

다음 두 데이터가 주어졌다고 하자.

• (항등원 $1_{J}\in J$을 갖는) 유한 차원 실수 요르단 대수 $(J,\bullet ,1_{J})$
• $J$ 위의 불변 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 $\langle -,-\rangle \colon J\otimes _{\mathbb {R} }J\to \mathbb {R}$. 즉, 다음이 성립해야 한다.

  $\langle A,B\bullet C\rangle =\langle A\bullet B,C\rangle \qquad \forall A,B,C\in J$

• (항등원 $1_{K}\in K$를 갖는) 실수 합성 대수 $(K,\cdot ,1_{K})$. 여기서 내적을 $\langle 1_{K},1_{K}\rangle =1$이 되게 규격화한다.

이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자.

${\mathfrak {g}}(K,J)={\mathfrak {der}}(K;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {der}}(J;\mathbb {R} )\oplus (\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{K}\})^{\perp }\otimes _{\mathbb {R} }(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }$

여기서

• ${\mathfrak {der}}(-;\mathbb {R} )$는 쌍선형 이항 연산에 대한 미분 리 대수이다.
• $(-)^{\perp }$은 내적에 대한 직교 여공간이다.

이 가운데, ${\mathfrak {der}}(K;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {der}}(J;\mathbb {R} )$는 이미 실수 리 대수를 이루며, 이는 $(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{K}\})^{\perp }\otimes _{\mathbb {R} }(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }$ 위의 표준적인 리 대수 표현을 갖는다. 즉, 만약 ${\mathfrak {g}}(K,J)$ 전체가 실수 리 대수를 이루려면, 야코비 항등식을 만족시키는, $(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{K}\})^{\perp }\otimes _{\mathbb {R} }(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }$ 위의 리 괄호가 존재하면 족하다.

이제, 다음과 같은 괄호를 정의하자.

$[a\otimes A,b\otimes B]={\frac {\langle A,B\rangle _{J}}{4\langle 1_{J},1_{J}\rangle _{J}}}{\mathsf {D}}_{a,b}-\langle a,b\rangle _{K}[A\bullet ,B\bullet ]+{\frac {1}{2}}(a\cdot b-b\cdot a)\otimes \operatorname {proj} _{(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }}(A\bullet B)\qquad (a,b\in (\operatorname {Span} \{1_{K}\})^{\perp },\;A,B\in (\operatorname {Span} \{1_{J}\})^{\perp })$

여기서

• $(A\bullet )\colon J\to J$는 $A$에 의한 요르단 곱셈이며, 그 교환자는 미분을 이룬다 ($[A\bullet ,B\bullet ]\in {\mathfrak {der}}(J;\mathbb {R} )$).
• ${\mathsf {D}}_{a,b}=[a\cdot ,b\cdot ]+[a\cdot ,\cdot b]+[\cdot a,\cdot b]\in {\mathfrak {der}}(K;\mathbb {R} )$는 $K$ 위의 미분이다.

이제, 만약 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다면, ${\mathfrak {g}}(K,J)$는 실수 리 대수를 이룬다.^{:Theorem 3.1}

• $(K,\cdot )$가 실수 결합 대수이다.
• $J$에서 다음 항등식이 성립한다.

  $2\langle 1_{J},1_{J}\rangle \operatorname {proj} _{(\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }}\left(A\bullet (A\bullet A)\right)=3\langle A,A\rangle A\qquad \forall A\in (\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{1_{J}\})^{\perp }$

성질

특히, 다음과 같은 특수한 경우가 성립한다.

${\mathfrak {g}}(\mathbb {R} ,J)={\mathfrak {der}}(J;\mathbb {R} )$^{:(3.5), Theorem 3.2} (미분 리 대수)

${\mathfrak {g}}({\tilde {\mathbb {C} }},J)={\mathfrak {con}}_{0}'(J)$^{:(3.6), Theorem 3.2}

${\mathfrak {g}}({\tilde {\mathbb {H} }},J)={\mathfrak {con}}(J)$^{:(3.7), Theorem 3.2}

${\mathfrak {g}}(\mathbb {K} ,\operatorname {H} (n;\mathbb {K} '))\cong {\mathfrak {g}}(\mathbb {K} ',\operatorname {H} (n;\mathbb {K} ))\qquad \forall n\geq 2,\;\mathbb {K} ,\mathbb {K} '$^{:Theorem 6.1}

여기서 ${\mathfrak {con}}_{0}'(-)$ 및 ${\mathfrak {con}}(-)$은 칸토르-쾨허-티츠 구성을 통해 $J$에 대응되는 리 대수들이다.

예

프로이덴탈 마방진을 구성하는 실수 리 대수들은 다음과 같다.

$J$ ╲ $K$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {C}$	$\mathbb {H}$	${\tilde {\mathbb {C} }}$	${\tilde {\mathbb {H} }}$
$\operatorname {H} (n;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {su}}(n)$	${\mathfrak {usp}}(2n)$	${\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {sp}}(2n;\mathbb {R} )$
$\operatorname {H} (n;\mathbb {C} )$	${\mathfrak {su}}(n)$	${\mathfrak {su}}(n)^{\oplus 2}$	${\mathfrak {su}}(2n)$	${\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )$	${\mathfrak {su}}(n,n)$
$\operatorname {H} (n;\mathbb {H} )$	${\mathfrak {usp}}(2n)$	${\mathfrak {su}}(2n)$	${\mathfrak {o}}(4n)$	${\mathfrak {su}}^{*}(2n)$	${\mathfrak {o}}^{*}(4n)$
$\operatorname {H} (n;{\tilde {\mathbb {C} }})$	${\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )$	${\mathfrak {su}}^{*}(2n)$	${\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )^{\oplus 2}$	${\mathfrak {sl}}(2n;\mathbb {R} )$
$\operatorname {H} (n;{\tilde {\mathbb {H} }})$	${\mathfrak {sp}}(2n;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {su}}(n,n)$	${\mathfrak {o}}^{*}(4n)$	${\mathfrak {sl}}(2n;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(2n,2n)$

여기서

• ${\tilde {\mathbb {C} }}=\mathbb {R} [\mathrm {i} ]/(\mathrm {i} ^{2}-1)$은 분할 복소수(영어: split-complex number)의 실수 가환 결합 대수이다.
• ${\tilde {\mathbb {H} }}=\mathbb {R} \langle \mathrm {i} ,\mathrm {j} \rangle /(\mathrm {i} ^{2}+1,\mathrm {j} ^{2}-1,\mathrm {i} \mathrm {j} +\mathrm {j} \mathrm {i} )$는 분할 사원수의 실수 결합 대수이다. 이는 사실 $\operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )$ (2×2 실수 정사각 행렬의 대수)와 실수 결합 대수로서 동형이다.
• $\operatorname {H} (n;K)$는 $K$ 계수 $n\times n$ 에르미트 행렬들의 요르단 대수이다.

3×3

3×3 행렬의 경우, (분할) 팔원수의 3×3 행렬 공간 $\operatorname {H} (3;\mathbb {O} )$ 및 $\operatorname {H} (3;{\tilde {\mathbb {O} }})$가 요르단 대수가 되므로, 프로이덴탈 마방진에 이를 추가할 수 있다.

$J$ ╲ $K$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {C}$	$\mathbb {H}$	$\mathbb {O}$	${\tilde {\mathbb {C} }}$	${\tilde {\mathbb {H} }}$	${\tilde {\mathbb {O} }}$
$\operatorname {H} (3;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {so}}(3)$	${\mathfrak {su}}(3)$	${\mathfrak {usp}}(6)$	${\mathfrak {f}}_{4}$	${\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {sp}}(6;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {f}}_{4(4)}$
$\operatorname {H} (3;\mathbb {C} )$	${\mathfrak {su}}(3)$	${\mathfrak {su}}(3)^{\oplus 2}$	${\mathfrak {su}}(6)$	${\mathfrak {e}}_{6}$	${\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )$	${\mathfrak {su}}(3,3)$	${\mathfrak {e}}_{6(2)}$
$\operatorname {H} (3;\mathbb {H} )$	${\mathfrak {usp}}(6)$	${\mathfrak {su}}(6)$	${\mathfrak {so}}(12)$	${\mathfrak {e}}_{7}$	${\mathfrak {su}}^{*}(6)$	${\mathfrak {o}}^{*}(12)$	${\mathfrak {e}}_{7(-5)}$
$\operatorname {H} (3;\mathbb {O} )$	${\mathfrak {f}}_{4}$	${\mathfrak {e}}_{6}$	${\mathfrak {e}}_{7}$	${\mathfrak {e}}_{8}$	${\mathfrak {e}}_{6(-26)}$	${\mathfrak {e}}_{7(-25)}$	${\mathfrak {e}}_{8(-24)}$
$\operatorname {H} (3;{\tilde {\mathbb {C} }})$	${\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )$	${\mathfrak {su}}^{*}(6)$	${\mathfrak {e}}_{6(-26)}$	${\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {R} )^{\oplus 2}$	${\mathfrak {sl}}(6;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {e}}_{6(6)}$
$\operatorname {H} (3;{\tilde {\mathbb {H} }})$	${\mathfrak {sp}}(6;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {su}}(3,3)$	${\mathfrak {o}}^{*}(12)$	${\mathfrak {e}}_{7(-25)}$	${\mathfrak {sl}}(6;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(6,6)$	${\mathfrak {e}}_{7(7)}$
$\operatorname {H} (3;{\tilde {\mathbb {O} }})$	${\mathfrak {f}}_{4(4)}$	${\mathfrak {e}}_{6(2)}$	${\mathfrak {e}}_{7(-5)}$	${\mathfrak {e}}_{8(-24)}$	${\mathfrak {e}}_{6(6)}$	${\mathfrak {e}}_{7(7)}$	${\mathfrak {e}}_{8(8)}$

2×2

2×2인 경우, 팔원수의 경우 약간의 해설이 필요하다. 이 경우,

${\mathfrak {g}}(\mathbb {K} ,\operatorname {H} (2;\mathbb {O} ))\qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \})$

는 잘 정의되지만, 반대로

${\mathfrak {g}}(\mathbb {O} ,\operatorname {H} (2;\mathbb {K} ))\qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \})$

는 잘 정의되지 않는다. 이 경우, 대칭성을 사용하여 둘째 대수를 첫째와 같게 임의로 정의할 수 있다. 사실, 이러한 경우 항상

${\mathfrak {g}}(\mathbb {K} ,\mathbb {H} (2;\mathbb {K} '))\cong {\mathfrak {o}}(\mathbb {K} \oplus \mathbb {K} ')\qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \},\;\mathbb {K} '\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} \})$^{:Theorem 8.3}

임을 보일 수 있다. (계량 부호수는 $\mathbb {K}$와 $\mathbb {K} '$의 고유 내적으로부터 유도된다.) 이를 통해, $\mathbb {K} =\mathbb {K} '=\mathbb {O}$인 경우 등의 칸을 채워 넣을 수 있다.

$J$ ╲ $K$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {C}$	$\mathbb {H}$	$\mathbb {O}$	${\tilde {\mathbb {C} }}$	${\tilde {\mathbb {H} }}$	${\tilde {\mathbb {O} }}$
$\operatorname {H} (2;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(2;\mathbb {R} )={\mathfrak {u}}(1)$	${\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )={\mathfrak {su}}(2)$	${\mathfrak {o}}(5;\mathbb {R} )={\mathfrak {usp}}(4)$	${\mathfrak {o}}(9;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(2,1)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(3,2)={\mathfrak {sp}}(4;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(5,4)$
$\operatorname {H} (2;\mathbb {C} )$	${\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )={\mathfrak {su}}(2)$	${\mathfrak {o}}(4;\mathbb {R} )={\mathfrak {su}}(2)^{\oplus 2}$	${\mathfrak {o}}(6;\mathbb {R} )={\mathfrak {su}}(4)$	${\mathfrak {o}}(10;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(3,1)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )$	${\mathfrak {o}}(4,2)={\mathfrak {su}}(2,2)$	${\mathfrak {o}}(6,4)$
$\operatorname {H} (2;\mathbb {H} )$	${\mathfrak {o}}(5;\mathbb {R} )={\mathfrak {usp}}(4)$	${\mathfrak {o}}(6;\mathbb {R} )={\mathfrak {su}}(4)$	${\mathfrak {o}}(8;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(12;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(5,1)={\mathfrak {su}}^{*}(4)$	${\mathfrak {o}}(6,2)={\mathfrak {o}}^{*}(8)$	${\mathfrak {o}}(8,4)$
$\operatorname {H} (2;\mathbb {O} )$	${\mathfrak {o}}(9;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(10;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(12;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(16;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(9,1)$	${\mathfrak {o}}(10,2)$	${\mathfrak {o}}(12,4)$
$\operatorname {H} (2;{\tilde {\mathbb {C} }})$	${\mathfrak {o}}(2,1)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(3,1)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )$	${\mathfrak {o}}(5,1)={\mathfrak {su}}^{*}(4)$	${\mathfrak {o}}(9,1)$	${\mathfrak {o}}(2,2)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )^{\oplus 2}$	${\mathfrak {o}}(3,3)={\mathfrak {sl}}(4;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(5,5)$
$\operatorname {H} (2;{\tilde {\mathbb {H} }})$	${\mathfrak {o}}(3,2)={\mathfrak {sp}}(4;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(4,2)={\mathfrak {su}}(2,2)$	${\mathfrak {o}}(6,2)={\mathfrak {o}}^{*}(8)$	${\mathfrak {o}}(10,2)$	${\mathfrak {o}}(3,3)={\mathfrak {sl}}(4;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {o}}(4,4)$	${\mathfrak {o}}(6,6)$
$\operatorname {H} (2;{\tilde {\mathbb {O} }})$	${\mathfrak {o}}(5,4)$	${\mathfrak {o}}(6,4)$	${\mathfrak {o}}(8,4)$	${\mathfrak {o}}(12,4)$	${\mathfrak {o}}(5,5)$	${\mathfrak {o}}(6,6)$	${\mathfrak {o}}(8,8)$

1×1

1×1 행렬의 경우, $\mathbb {R} =\operatorname {H} (1;\mathbb {R} )=\operatorname {H} (1;\mathbb {C} )=\operatorname {H} (1;\mathbb {H} )$이므로, 더 이상 대칭성이 성립하지 않는다. 이는 행렬이 “너무 작아서” 있어야 하는 일부 미분들이 자명하게 작용하기 때문이다.^{:Theorem 4.2}

$J$ ╲ $K$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {C}$	$\mathbb {H}$	$\mathbb {O}$	${\tilde {\mathbb {C} }}$	${\tilde {\mathbb {H} }}$	${\tilde {\mathbb {O} }}$
$\mathbb {R}$	0	0	${\mathfrak {su}}(2)$	${\mathfrak {g}}_{2}$	0	${\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )$	${\mathfrak {g}}_{2(2)}$

역사

자크 티츠와 한스 프로이덴탈이 1950년대 말에 각각 독자적으로 발견하였다. 그러나 티츠는 이 내용을 1966년에 와서야 출판하였다.

외부 링크

• “Freudenthal magic square”. 《nLab》 (영어). 
• “Magic triangle”. 《nLab》 (영어). 
• “Magic pyramid”. 《nLab》 (영어).