요르단 삼항 대수
추상대수학에서 요르단 삼항 대수(Jordan三項代數, 영어: Jordan triple algebra)는 어떤 특별한 항등식을 만족시키는 3쌍 선형 연산을 갖춘 대수 구조이다. 모든 요르단 대수와, 특정한 대합을 갖는 등급 리 대수는 표준적으로 요르단 삼항 대수의 구조를 갖는다. 또한, 요르단 3항 대수에 대하여, 그 위의 “등각 변환”으로 구성되는 더 큰 리 대수가 존재한다. 이 구성을 칸토르-쾨허-티츠 구성(Кантор-Koecher-Tits構成, 영어: Kantor–Koecher–Tits construction)이라고 하며, 이를 통해 일부 예외 단순 리 대수(E₇, E₆, F₄)를 구성할 수 있다.
정의 편집
요르단 삼항 대수 편집
표수가 2가 아닌 체 위의 요르단 삼항 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.[1]
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
- (대칭성)
성질 편집
요르단 대수 → 요르단 3항 대수 편집
요르단 대수 가 주어졌을 때
를 정의하면, 이는 요르단 3항 대수를 이룸을 쉽게 확인할 수 있다.
리 대수 → 요르단 3항 대수 편집
위의 리 대수 가 값의 등급을 갖는다고 하자.
또한, -선형 변환 이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
그렇다면,
를 정의하면 는 요르단 3항 대수를 이룬다.
요르단 3항 대수 → 리 대수 편집
이제, 요르단 3항 대수 가 주어졌을 때, 다항 함수 의 결합 대수
를 생각하자. 이는 함수의 합성에 의하여 자연수 등급의 등급 대수를 이루며, 대수의 연산을 리 괄호 만 남기고 잊으면 이는 등급 리 대수를 이룬다.
이제, 다음과 같은 세 -벡터 공간을 정의하자.
이는 위의 상수 함수 · 선형 함수 · 2차 함수로 구성된다.
이는 일반적으로 의 함수의 합성에 대하여 닫혀 있지 않지만, 대신 리 괄호에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다. 즉, 이는 -리 대수를 이루며, 또한 값의 등급을 갖는다. 또한, 이 구조에는
와 같은 대합이 주어진다.
이를 에 대응되는 칸토르-쾨허-티츠 구성이라고 하며, 로 표기한다. 또한, 그 등급 0의 부분 리 대수를 로 표기한다.
만약 가 항등원을 갖는 요르단 대수를 이룬다면, 리 대수 준동형
이 존재한다. (여기서 정의역은 아벨 리 대수이다.) 또한, 그 치역은 리 대수의 중심의 부분이므로 리 대수 아이디얼을 이루어, 이에 대한 몫을 취할 수 있다. 이 대수를
로 표기하자. 사실, 의 모든 원소는
와 같이 대각합과 무대각합 성분으로 표준적으로 분해되므로, 이는 표준적으로 직합
을 이룬다.
또한, 가 요르단 대수일 때, 그 이항 연산 을 보존하는 미분 리 대수 가 존재하며, 이는 의 부분 대수를 이룬다.
예 편집
요르단 대수에 대응되는 리 대수의 예는 다음과 같다.[2]:§§4–5
요르단 대수 | |||
---|---|---|---|
0 | 0 | ||
(앨버트 대수) | (E₇ 리 대수) | (E₆ 리 대수) | (콤팩트 F₄ 리 대수) |
여기서
역사 편집
칸토어-쾨허-티츠 구성은 자크 티츠[3] · 이사이 리보비치 칸토르[4](러시아어: Исай Львович Кантор, 1936~2006) · 막스 쾨허[5](독일어: Max Koecher, 1924~1990)가 1960년대에 도입하였다.
참고 문헌 편집
- ↑ Palmkvist, Jakob (2008). “A generalization of the Kantor-Koecher-Tits construction” (PDF). 《Journal of generalized Lie theory and applications》 (영어) 2 (3): 226–230.
- ↑ Sudbery, A. (1984년 4월). “Division algebras, (pseudo)orthogonal groups and spinors”. 《Journal of physics A》 (영어) 17 (5): 939–955. Bibcode:1984JPhA...17..939S. doi:10.1088/0305-4470/17/5/018.
- ↑ Tits, Jacques (1962). “Une classe d’algèbres de Lie en relation avec les algèbres de Jordan”. 《Indagationes Mathematicae》 (프랑스어) 24: 530–535. MR 0146231.
- ↑ Кантор, Исай Львович (1964). “Классификация неприводимых транзитивно-дифференциальных групп”. 《Доклады академии наук Союза Советских Социалистических Республик》 (러시아어) 158 (6): 1271–1274. ISSN 0002-3264. MR 0175941. Zbl 0286.17011.
- ↑ Koecher, Max (1967). “Imbedding of Jordan algebras into Lie algebras Ⅰ”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 89: 787–816. doi:10.2307/2373242. ISSN 0002-9327. JSTOR 2373242. MR 0214631.