프톨레마이오스 정리

기하학에서 프톨레마이오스 정리(Ptolemaeus定理, 영어: Ptolemy's theorem) 또는 톨레미 정리(Ptolemy定理)는 원에 내접하는 사각형의 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같다는 정리이다.

정의

프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형 $ABCD$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC

이는 케이시의 정리의 특수한 경우이다.

증명

삼각형의 닮음을 통한 증명

삼각형의 닮음을 통한 증명의 도해

사각형 $ABCD$ 의 외접원의 호 $AB$ 와 $BC$ 의 원주각의 성질에 의하여 $\angle BAC=\angle BDC$ 이고 $\angle ADB=\angle ACB$ 이다. 선분 $AC$ 위에서 $\angle ABK=\angle CBD$ 를 만족시키는 점 $K$ 를 잡자. 그러면 $\angle ABD=\angle CBK$ 이다. 따라서, 삼각형 $\triangle ABK$ 와 $\triangle DBC$ 는 닮음이고, 삼각형 $\triangle ABD$ 와 $\triangle KBC$ 역시 닮음이므로,

{\frac {AK}{AB}}={\frac {CD}{BD}}

와

{\frac {CK}{BC}}={\frac {AD}{BD}}

가 성립한다. $AK+CK=AC$ 이므로

AB\cdot CD+BC\cdot AD=AK\cdot BD+CK\cdot BD=AC\cdot BD

이다.

반전을 통한 역증명

반전을 통한 증명의 도해

중심이 $D$ 인 단위원에 대한 반전에 대한 $A,B,C$ 의 상을 $A',B',C'$ 이라고 하자. 그러면 $A',B',C'$ 은 서로 다른 공선점이며, $B'$ 은 $A'$ 와 $C'$ 사이의 점이다. 반전의 성질에 의하여

A'B'={\frac {AB}{AD\cdot BD}}

B'C'={\frac {BC}{BD\cdot CD}}

A'C'={\frac {AC}{AD\cdot CD}}

이며, $A'B'+B'C'=A'C'$ 이므로,

{\frac {AB}{AD\cdot BD}}+{\frac {BC}{BD\cdot CD}}={\frac {AC}{AD\cdot CD}}

가 성립한다.

따름정리

삼각 함수 항등식

프톨레마이오스 정리에서 한 대각선이 내접원의 지름인 경우는 두 각의 합의 사인 함수에 대한 항등식과 동치이다.^[1]^{:309, Historical note 10.9.2.1} 즉, 내접 사각형 $ABCD$ 의 대각선 $AC$ 가 내접원의 중심 $O$ 를 지난다고 하자. 편의상 내접원의 반지름이 1이라고 하자. 또한 $\angle BOC=2\theta$ 이고 $\angle COD=2\varphi$ 라고 하자. 그러면

AC=2

BD=2\sin(\theta +\varphi )

AB=2\cos \theta

CD=2\sin \varphi

AD=2\cos \varphi

BC=2\sin \theta

이므로, 프톨레마이오스 정리에 의하여

\sin(\theta +\varphi )=\cos \theta \sin \varphi +\cos \varphi \sin \theta

가 성립한다.

프톨레마이오스 정리의 역

프톨레마이오스 정리의 역 또한 성립한다. 즉, 사각형 $ABCD$ 가

AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC

를 만족시킨다면, 내접 사각형이다.

프톨레마이오스 부등식

프톨레마이오스 부등식(Ptolemaeus不等式, 영어: Ptolemy's inequality)에 따르면, 임의의 사각형 $ABCD$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+AD\cdot BC

또한, 등호가 성립할 필요충분조건은 내접 사각형이다.

보다 일반적으로, 평면 위 임의의 네 점 $A,B,C,D$ 에 대하여, 위와 같은 부등식이 성립하며, 또한 이들에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]^{:309, Proposition 10.9.2}

다음 가운데 하나가 성립한다.
- $AB\cdot CD=AC\cdot BD+AD\cdot BC$
- $AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$
- $AD\cdot BC=AB\cdot CD+AC\cdot BD$
공원점이거나 공선점이다.

역사

고대 그리스의 천문학자이자 수학자인 클라우디오스 프톨레마이오스는 이 정리를 저서 《알마게스트》에 등장하는 현표를 만드는 데 사용하였다.^[1]^{:309, Historical note 10.9.2.1}

같이 보기

활꼴
현

각주

↑ ^가 ^나 ^다 Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》. Universitext (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939.

외부 링크

이철희. “톨레미의 정리”. 《수학노트》.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Ptolemy's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Ptolemy inequality”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Ptolemy's theorem”. 《PlanetMath》 (영어).

[Berger-1] 가 ^나 ^다 Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》. Universitext (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939.

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