해석적 집합

집합론일반위상수학에서, 해석적 집합(解析的集合, 영어: analytic set)은 폴란드 공간의 연속적 폴란드 공간 부분 공간이다.

정의편집

폴란드 공간  부분 집합  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 부분 집합을 해석적 집합이라고 한다.

  •  폴란드 공간  연속 함수  가 존재한다.[1]:85, Definition 14.1
  •  폴란드 공간  보렐 집합  연속 함수  가 존재한다.
  •  공집합이거나, 아니면  인 연속 함수  가 존재한다.[2]:128, Proposition 4.1.1(iii)
  •  보렐 집합  가 존재한다.[2]:128, §4.1
  •  폴란드 공간  보렐 집합  가 존재한다.[1]:86, Exercise 14.3(ii)[2]:128, Proposition 4.1.1(ii)
  •  닫힌집합  가 존재한다.[1]:86, Exercise 14.3(iii)[2]:128, Proposition 4.1.1(iv)
  •  Gδ 집합  가 존재한다.[1]:86, Exercise 14.3(iv)

 의 해석적 집합들의 족은  로 표기한다. (여기서 첨자들은 사영 위계의 일부이기 때문이다.)

성질편집

연산에 대한 닫힘편집

해석적 집합들은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.

  • 폴란드 공간   속에서 가산 개의 해석적 집합들의 합집합은 해석적 집합이다.[1]:86, Proposition 14.4(i)[2]:129, Proposition 4.1.2(i)
  • 폴란드 공간   속에서 가산 개의 해석적 집합들의 교집합은 해석적 집합이다.[1]:86, Proposition 14.4(i)[2]:129, Proposition 4.1.2(i)
  • 두 폴란드 공간  ,   사이의 보렐 가측 함수   및 해석적 집합  에 대하여, 그   역시 해석적 집합이다.[1]:86, Proposition 14.4(ii)[2]:129, Exercise 4.1.3
  • 두 폴란드 공간  ,   사이의 보렐 가측 함수   및 해석적 집합  에 대하여, 그 원상   역시 해석적 집합이다.[1]:86, Proposition 14.4(ii)[2]:129, Proposition 4.1.2(i)

폴란드 공간  의 부분 집합  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  보렐 집합이다.
  •    둘 다 해석적 집합이다.

분리 정리편집

루진-노비코프 분리 정리(Лузин-Новиков分離定理, 영어: Lusin–Novikoff separation theorem)에 따르면, 임의의 폴란드 공간   속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족  ,  에 대하여, 만약  이라면,  이자  보렐 집합들의 집합족  이 존재한다.[1]:219, Theorem 28.5[2]:155, Theorem 4.6.1

쿠라토프스키 분리 정리에 따르면, 폴란드 공간   속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족  ,  에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 집합족  가 존재한다.[2]:176, Corollary 4.11.3

  • 임의의  에 대하여,  
  • 임의의  에 대하여,  라면  

실수의 해석적 집합편집

실수선  의 해석적 집합은 보편 가측 집합이며, 준열린집합이며, 완전 집합 성질을 갖는다.

역사편집

니콜라이 루진[3]미하일 야코블레비치 수슬린[4] 이 1917년에 정의하였다.[5]

루진-노비코프 분리 정리의 2개의 집합에 대한 경우를 니콜라이 루진이 1927년에 증명하였고,[6] 이를 1931년에 표트르 세르게예비치 노비코프가 가산 개의 집합에 대하여 일반화하였다.[7]

참고 문헌편집

  1. Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002. 
  2. Srivastava, Shashi Mohan (1991). 《A course on Borel sets》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 180. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-85473-6. ISBN 978-3-642-85475-0. MR 1619545. Zbl 0903.28001. 
  3. Lusin, Nicolas (1917). “Sur la classification de M. Baire”. 《Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) 164: 91–94. JFM 46.0390.03. 
  4. Souslin, Michel (1917). “Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis”. 《Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) 164: 88–91. JFM 46.0296.01. 
  5. Lorentz, George G. (2001년 9월). “Who discovered analytic sets?” (PDF). 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) 23 (4): 31. doi:10.1007/BF03024600. ISSN 0343-6993. 
  6. Lusin, Nicolas (1927). “Sur les ensembles analytiques” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 10: 1–95. JFM 53.0171.05. 
  7. Novikoff, Pierre (1931). “Sur les fonctions implicites mesurables B (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 17 (1): 8–25. ISSN 0016-2736. JFM 57.0291.02. Zbl 0003.10802. 

외부 링크편집

같이 보기편집