해석적 집합

집합론과 일반위상수학에서 해석적 집합(解析的集合, 영어: analytic set)은 폴란드 공간의 연속적 상인 폴란드 공간 부분 공간이다.

정의

폴란드 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 부분 집합을 해석적 집합이라고 한다.

• $f(Y)=A$인 폴란드 공간 $Y$ 및 연속 함수 $f\colon Y\to X$가 존재한다.^{:85, Definition 14.1}
• $f(S)=A$인 폴란드 공간 $Y$ 및 보렐 집합 $S\subseteq Y$ 및 연속 함수 $f\colon Y\to X$가 존재한다.
• $A$는 공집합이거나, 아니면 $f(\mathbb {N} ^{\aleph _{0}})=A$인 연속 함수 $f\colon \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}\to X$가 존재한다.^{:128, Proposition 4.1.1(iii)}
• $\operatorname {proj} _{1}(S)=A$인 보렐 집합 $S\subseteq X\times X$가 존재한다.^{:128, §4.1}
• $\operatorname {proj} _{X}(S)=A$인 폴란드 공간 $Y$ 및 보렐 집합 $S\subseteq X\times Y$가 존재한다.^{:86, Exercise 14.3(ii):128, Proposition 4.1.1(ii)}
• $\operatorname {proj} _{X}(S)=A$인 닫힌집합 $S\subseteq X\times \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}$가 존재한다.^{:86, Exercise 14.3(iii):128, Proposition 4.1.1(iv)}
• $\operatorname {proj} _{X}(S)=A$인 G_δ 집합 $S\subseteq X\times \{0,1\}^{\aleph _{0}}$가 존재한다.^{:86, Exercise 14.3(iv)}

$X$의 해석적 집합들의 족은 ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}(X)$로 표기한다. (여기서 첨자들은 사영 위계의 일부이기 때문이다.)

성질

연산에 대한 닫힘

해석적 집합들은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.

• 폴란드 공간 $X$ 속에서 가산 개의 해석적 집합들의 합집합은 해석적 집합이다.^{:86, Proposition 14.4(i):129, Proposition 4.1.2(i)}
• 폴란드 공간 $X$ 속에서 가산 개의 해석적 집합들의 교집합은 해석적 집합이다.^{:86, Proposition 14.4(i):129, Proposition 4.1.2(i)}
• 두 폴란드 공간 $X$, $Y$ 사이의 보렐 가측 함수 $f\colon X\to Y$ 및 해석적 집합 $A\subseteq X$에 대하여, 그 상 $f(A)$ 역시 해석적 집합이다.^{:86, Proposition 14.4(ii):129, Exercise 4.1.3}
• 두 폴란드 공간 $X$, $Y$ 사이의 보렐 가측 함수 $f\colon X\to Y$ 및 해석적 집합 $B\subseteq Y$에 대하여, 그 원상 $f^{-1}(B)$ 역시 해석적 집합이다.^{:86, Proposition 14.4(ii):129, Proposition 4.1.2(i)}

폴란드 공간 $X$의 부분 집합 $A\subset X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $A$는 보렐 집합이다.
• $A$와 $X\setminus A$ 둘 다 해석적 집합이다.

분리 정리

루진-노비코프 분리 정리(Лузин-Новиков分離定理, 영어: Lusin–Novikoff separation theorem)에 따르면, 임의의 폴란드 공간 $X$ 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 $\{A_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}(X)$, $|I|\leq \aleph _{0}$에 대하여, 만약 $\textstyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\varnothing$이라면, $\forall i\in I\colon B_{i}\supseteq A_{i}$이자 $\textstyle \bigcap _{i\in I}B_{i}=\varnothing$인 보렐 집합들의 집합족 $\{B_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)$이 존재한다.^{:219, Theorem 28.5:155, Theorem 4.6.1}

쿠라토프스키 분리 정리에 따르면, 폴란드 공간 $X$ 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 $\{A_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}(X)$, $|I|\leq \aleph _{0}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 집합족 $\{C_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}(X)$가 존재한다.^{:176, Corollary 4.11.3}

• 임의의 $i\in I$에 대하여, $\textstyle A_{i}\setminus \bigcup _{j\neq i}A_{j}\subseteq C_{i}$
• 임의의 $i,j\in I$에 대하여, $i\neq j$라면 $C_{i}\cap C_{j}=\varnothing$

실수의 해석적 집합

실수선 $\mathbb {R}$의 해석적 집합은 보편 가측 집합이며, 준열린집합이며, 완전 집합 성질을 갖는다.

역사

니콜라이 루진과 미하일 수슬린 이 1917년에 정의하였다.

루진-노비코프 분리 정리의 2개의 집합에 대한 경우를 니콜라이 루진이 1927년에 증명하였고, 이를 1931년에 표트르 세르게예비치 노비코프가 가산 개의 집합에 대하여 일반화하였다.

외부 링크

• El’kin, A.G. (2001). “Analytic set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Efimov, B.A. (2001). “Luzin separability principles”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “A-set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “A-operation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

같이 보기

• 보렐 집합
• 사영 집합