형식적 군 법칙

대수기하학에서, 형식적 군 법칙(形式的群法則, 영어: formal group law)은 리 군의 국소적 곱셈 법칙을 형식적 멱급수로 공리화하여 얻은 대수적 구조이다. 구체적으로, 이는 일종의 결합 법칙을 만족시키는 형식적 멱급수이다. 표수 0의 체의 경우 이 개념은 사실상 리 대수와 동치이나, 다른 표수의 경우 이는 추가 정보를 포함한다.

정의편집

임의의 가환환  가 주어졌다고 하자.

형식적 변수  을 생각하자. 편의상 이들을

 
 

와 같이 표기하자.

이에 대한 형식적 멱급수환

 

을 생각하자. 이에 대한 형식적 군 법칙 개의 형식적 멱급수

 
 

로 구성되며, 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  (군 법칙의 최소차항)
  (형식적 결합 법칙)

형식적 군 법칙  가 다음 조건을 따른다면, 가환 형식적 군 법칙(영어: commutative formal group law)이라고 한다.

 

준동형편집

같은 가환환  를 계수로 하는  차원 형식적 군 법칙   차원 형식적 군 법칙   사이의 형식적 군 법칙 준동형(영어: formal group law homomorphism)  은 다음 조건을 만족시키는 다항식

 

이다.

 

역원을 가지는 형식적 군 법칙 준동형을 형식적 군 법칙의 동형이라고 한다. (이는  일 때에만 존재한다.) 형식적 군 법칙 동형이

 

이라면, 이를 순동형(純同形, 영어: strict isomorphism)이라고 한다.

성질편집

형식적 군 법칙의 정의에는 역원의 존재에 대한 특별한 조건에 없지만, 이는 항상 자동적으로 성립한다. 즉, 임의의 형식적 군 법칙  에 대하여, 항상

 

 가 존재한다.

로그편집

만약 가환환  유리수체  를 포함한다면,   계수의 임의의  차원 형식적 군 법칙  는 덧셈 형식적 군 법칙와 순동형이다. 즉, 어떤 순동형  에 대하여

 

가 된다.

리 대수와의 관계편집

임의의  차원 형식적 군 법칙

 

에서,   차원 리 대수를 정의한다.

 

표수 0의 체의 경우, 형식적 군 법칙의 범주는 리 대수의 범주와 동치이다. 그러나 이는 양의 표수의 경우 성립하지 않는다.

편집

덧셈 형식적 군 법칙은 임의의 차원 및 계수에서 정의되는 다음과 같다.

 

임의의  에 대하여, 곱셈 군 법칙은 다음과 같은 1차원 군 법칙이다.

 

리 군의 형식적 군 법칙편집

 차원 리 군  가 주어졌다고 하자. 이 경우, 그 리 대수  의 임의의 기저를 잡고, 리 지수 함수

 

로서  의, 항등원   근방국소 좌표계를 정의할 수 있다.  의 곱셈은 매끄러운 함수이므로 이에 대한 테일러 급수를 취할 수 있으며, 이는  차원 실수 계수 형식적 군 법칙을 이룬다.

특수 상대성 이론편집

특수 상대성 이론의 속도 덧셈 공식

 

은 형식적 군 법칙을 이룬다.

역사편집

잘로몬 보흐너(독일어: Salomon Bochner)가 1946년에 도입하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Bochner, Salomon (1946). “Formal Lie groups”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 47: 192–201. doi:10.2307/1969242. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969242. MR 0015397. 

외부 링크편집