힐베르트 기호

유체론에서, 힐베르트 기호(영어: Hilbert symbol)는 국소체의 0이 아닌 원소에 대하여 정의된 르장드르 기호의 일반화이다. 이를 사용하여, 이차 상호 법칙을 모든 위치에 대칭적인 형태로 적을 수 있는데, 이를 힐베르트 상호 법칙(영어: Hilbert reciprocity law)이라고 한다.

정의편집

이차 힐베르트 기호편집

 유리수체자리라고 하자. 즉,

 

실수체 또는 p진수체이다. 체  가역원군 라고 하자. 그렇다면, 유리수체의  에서의 힐베르트 기호는 다음과 같은 함수이다.

 
 

일반적 힐베르트 기호편집

위의 힐베르트 기호는 유리수체의 자리에 대한 것이며, 이를 임의의 대수적 수체에 대하여 일반화할 수 있다.

대수적 수체  자리  에 대하여, 다음과 같은 함수를 힐베르트 기호라고 한다.[1]:201, §II.7.3.1[2]:333, Proposition V.3.1

 
 

여기서

  •  는 자리  에서의 국소체이다.
  •   에 포함된 1의 거듭제곱근들로 구성된 아벨 군이다.
  •   에 포함된 1의 거듭제곱근의 수이다.
  •  원분 확대  에 대한 국소 아르틴 기호이다. 이는 갈루아 군의 원소이므로 원분 확대체의 원소   위에 작용한다.

사실, 힐베르트 기호는  제곱 잉여류에만 의존한다. 즉, 이는 다음과 같은 함수를 정의한다.

 

성질편집

만약  가 복소수 자리라면 ( ),  는 자명한 확대이므로, 그 갈루아 군  자명군이며, 따라서  이다.

임의의 대수적 수체  의 자리  에 대하여, 힐베르트 기호는 다음 성질들을 만족시킨다.[1]:195, Proposition II.7.1.1[2]:334, Proposition V.3.2

 
 
 
 
 

유리수체의 국소 힐베르트 기호편집

실수체에서는

 

이다.

2진수체에서,   가 정수이고

 
 
 

라면,

 

이다.

홀수 소수  에 대한  진수체에서,   가 정수이고

 
 
 

라면,

 

이다. 여기서  르장드르 기호이다.

힐베르트 상호 법칙편집

힐베르트 상호 법칙(Hilbert相互法則, 영어: Hilbert reciprocity law)에 따르면, 임의의 대수적 수체  의 두 원소  에 대하여,  자리  의 수는 유한하며, 또한

 

이다.[1]:201, §I.7.3.1[2]:414, Theorem VI.8.1 여기서  는 모든 자리에 대한 곱이다.

힐베르트 상호 법칙은 이차 상호 법칙을 일반화한다. 만약   가 서로 다른 양의 홀수 소수라면, 유리수체의 국소 힐베르트 기호들을 계산하면 다음과 같다.

 
 
 
 
 

따라서

 

이다.

역사편집

다비트 힐베르트가 1897년에 도입하였다.[3]

참고 문헌편집

  1. Gras, Georges (2003). 《Class field theory: From theory to practice》. Springer Monographs in Mathematics (영어). H. Cohen 역 2판. Springer. doi:10.1007/978-3-662-11323-3. ISBN 978-3-642-07908-5. ISSN 1439-7382. Zbl 1019.11032. 
  2. Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021. 
  3. Hilbert, David (1897). “Die Theorie der algebraischen Zahlkörper”. 《Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung》 (독일어) 4: 175–546. ISSN 0012-0456. 
  • Vostokov, Sergei V. (2000). 〈I.8 Explicit formulas for the Hilbert symbol〉. 《Invitation to higher local fields》. Geom. Topol. Monogr (영어) 3. 81–89쪽. arXiv:math/0012139. 

외부 링크편집