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정의편집

위상체  에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상체를 국소체라고 한다.

비아르키메데스 국소체편집

비아르키메데스 국소체  의 이산 값매김  에 대하여,

 

이산 값매김환을 이루며, 이를  대수적 정수환이라고 한다.  가역원군

 

이며,  의 유일한 0이 아닌 소 아이디얼

 

이다.  주 아이디얼 정역이므로  주 아이디얼인데,  의 생성원을 균일화자(영어: uniformizer)  라고 한다.  잉여류체  유한체이다.

비아르키메데스 국소체   차 가역원군(영어:  th unit group)은 다음과 같다.

 

0차 가역원군은 (통상적) 가역원군  이다. 이에 대하여

 

이며,

 

이다.

가역원군의 구조편집

국소체  가역원군의 구조는 다음과 같다. 만약  아르키메데스 체일 경우,

 
 

는 매우 익숙한 아벨 군이다.

만약  가 비아르키메데스 체일 경우,

 

이다. 여기서   의 정수환의 유일 극대 아이디얼이며,   의 정수환의 잉여류체  1의 거듭제곱근들의 군이며,  는 1차 가역원군이다. 구체적으로, 만약   의 차수가  유한 확대라면

 

이다. 여기서   의 정수환의 잉여류체의 크기다. 만약  이라면

 

이다.

참고 문헌편집

  • Serre, Jean-Pierre (1995). 《Local fields》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 67. Springer. ISBN 0-387-90424-7. 
  • Fesenko, Ivan B.; Sergei V. Vostokov (2002). 《Local fields and their extensions》. Translations of Mathematical Monographs (영어) 121 2판. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3259-2. MR 1915966. 

외부 링크편집

같이 보기편집