위상체
K
{\displaystyle K}
동치 이며, 이를 만족시키는 위상체를 국소체 라고 한다.
비아르키메데스 국소체
K
{\displaystyle K}
|
⋅
|
{\displaystyle |\cdot |}
O
K
=
{
a
∈
K
:
|
a
|
≤
1
}
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\{a\in K\colon |a|\leq 1\}}
은 이산 값매김환 을 이루며, 이를
K
{\displaystyle K}
대수적 정수환
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
가역원군 은
O
K
×
=
{
a
∈
K
:
|
a
|
=
1
}
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }=\{a\in K\colon |a|=1\}}
이며,
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
소 아이디얼 은
m
=
{
a
∈
K
:
|
a
|
<
1
}
{\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{a\in K\colon |a|<1\}}
이다.
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
주 아이디얼 정역 이므로
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
주 아이디얼 인데,
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
영어 : uniformizer )
ϖ
∈
O
K
{\displaystyle \varpi \in {\mathcal {O}}_{K}}
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
잉여류체
O
K
/
m
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}}}
유한체 이다.
비아르키메데스 국소체
K
{\displaystyle K}
n
{\displaystyle n}
영어 :
n
{\displaystyle n}
U
K
(
n
)
=
1
+
m
n
=
{
u
∈
O
K
×
:
u
≡
1
(
mod
m
n
)
}
{\displaystyle U_{K}^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}_{K}^{\times }:u\equiv 1{\pmod {{\mathfrak {m}}^{n}}}\right\}}
0차 가역원군은 (통상적) 가역원군
O
K
×
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }}
O
K
×
=
U
K
(
0
)
⊇
U
K
(
1
)
⊇
⋯
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }=U_{K}^{(0)}\supseteq U_{K}^{(1)}\supseteq \cdots }
이며,
O
K
×
/
U
K
(
n
)
≅
(
O
/
m
n
)
×
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }/U_{K}^{(n)}\cong ({\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}^{n})^{\times }}
이다.
국소체
K
{\displaystyle K}
가역원군 의 구조는 다음과 같다. 만약
K
{\displaystyle K}
아르키메데스 체 일 경우,
R
×
≅
(
Z
/
(
2
)
)
×
R
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\cong (\mathbb {Z} /(2))\times \mathbb {R} }
C
×
≅
(
R
/
(
2
π
)
)
×
R
{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong (\mathbb {R} /(2\pi ))\times \mathbb {R} }
는 매우 익숙한 아벨 군 이다.
만약
K
{\displaystyle K}
K
×
≅
(
ϖ
)
×
μ
q
−
1
×
U
K
(
1
)
{\displaystyle K^{\times }\cong (\varpi )\times \mu _{q-1}\times U_{K}^{(1)}}
이다. 여기서
(
ϖ
)
{\displaystyle (\varpi )}
K
{\displaystyle K}
극대 아이디얼 이며,
μ
q
−
1
{\displaystyle \mu _{q-1}}
K
{\displaystyle K}
O
K
/
(
ϖ
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(\varpi )}
1의 거듭제곱근 들의 군이며,
U
K
(
1
)
{\displaystyle U_{K}^{(1)}}
K
{\displaystyle K}
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
d
{\displaystyle d}
유한 확대 라면
K
×
≅
Z
⊕
Z
/
(
q
−
1
)
⊕
Z
/
p
a
⊕
Z
p
d
{\displaystyle K^{\times }\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /(q-1)\oplus \mathbb {Z} /p^{a}\oplus \mathbb {Z} _{p}^{d}}
이다. 여기서
q
{\displaystyle q}
K
{\displaystyle K}
K
=
F
p
n
(
(
x
)
)
{\displaystyle K=\mathbb {F} _{p^{n}}((x))}
(
F
p
n
(
(
x
)
)
)
×
≅
Z
⊕
Z
/
(
p
n
−
1
)
⊕
Z
p
N
{\displaystyle \left(\mathbb {F} _{p^{n}}((x))\right)^{\times }\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /(p^{n}-1)\oplus \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }}
이다.
Serre, Jean-Pierre (1995). 《Local fields》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 67 . Springer. ISBN 0-387-90424-7 Fesenko, Ivan B.; Sergei V. Vostokov (2002). 《Local fields and their extensions》. Translations of Mathematical Monographs (영어) 121 2판. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3259-2 MR 1915966 . 
